Функция Ханкеля

Наряду с функциями Бесселя ν -го порядка J_v(x) большое значение для приложений имеют другие специальные виды решений уравнения Бесселя. К их числу относятся прежде всего функции Ханкеля 1-го и 2-го рода: и , являющиеся комплексно-сопряженными решениями уравнения Бесселя. С точки зрения физических приложений основной характеристикой функций Ханкеля является асимптотическое поведение при больших значениях аргумента. Поэтому мы определим функции Ханкеля как цилиндрические функции, обладающие следующей асимптотикой:

, (1)

, (2)

где точками обозначены более высокого порядка малости относительно 1/x. Условия (1), (2), в силу п.1.4, определяют и однозначно. Разделяя действительную и мнимую части, представим функции Ханкеля в виде

, (3)

, (4)

где функции

, (3′)

, (4′)

имеют асимптотический характер:

, (5)

, (6)

что следует из формул (1) и (2).

Введенная здесь функция J_ν (x) является функцией Бесселя ν -го порядка. Мнимая часть N_ν (x) функции Ханкеля называется функцией Неймана или цилиндрической функцией 2-го рода ν -го порядка.

Формулы (3) и (4) устанавливают связь между функциями Ханкеля, Бесселя и Неймана, аналогичную связи между показательной функцией мнимого аргумента, синусом и косинусом (формула Эйлера). Асимптотические формулы (1), (2), (5) и (6) подчеркивают эту аналогию.

При изучении решений уравнения колебаний

мы видели, что амплитуда U(x, y) установившихся колебаний

удовлетворяет волновому уравнению

.

Если решение волнового уравнения обладает радиальной симметрией: , то, как было отмечено в § 1, функция удовлетворяет уравнению Бесселя нулевого порядка.

Таким образом, функции

, (7)

, (8)

,

являются решениями уравнения колебаний, имеющими характер цилиндрических волн. Функция соответствует расходящимся цилиндрическим волнам, а функция — сходящимся цилиндрическим волнам.

Вторым важным свойством цилиндрических функций является их поведение при . Функции и N_ν при обращаются в бесконечность (так как J_v (0) конечно), точнее,

,

так как ,

при , потому что J _v(x) ~ х^ν при .

Функции Ханкеля и Неймана нулевого порядка являются фундаментальными решениями уравнения

,

поскольку они имеют нужную логарифмическую особенность при

.