Производящая функция и полиномы Лежандра
Полиномы Лежандра тесно связаны с фундаментальным решением уравнения Лапласа 1/ R, где R – расстояние от точки М до фиксированной точки М0. Пусть r и r0 – радиусы-векторы точек М и М0, а
где
при
при Функция
называется производящей функцией полиномов Лежандра. Разложим функцию
Коэффициенты В силу теоремы Коши из формулы (2) следует, что
Перейдем в комплексную плоскость (
Полагая
где С 1- любой контур, окружающий точку x = z. Подинтегральная функция имеет особенность, а именно полюс (n +1) порядка. С помощью теории вычетов получим:
Из формулы (6) непосредственно видно что: 1. P n(x) есть полином степени n; 2. Полином P n(x) содержит степени x той же четности, что и номер n, так что
Граничное условие в точке x =1, дает:
т.е. Формула (6) называется дифференциальной формулой для полиномов Лежандра или формулой Родрига. С учетом (7)
Отметим, что из (1) и (3) следует разложение потенциала
|
- угол между ними. Очевидно, можно записать
, (1)
, 
, 
, 
, 
.
,
, 
, 
, 
в ряд по степеням 
:
, 
, 
в разложение (2) являются полиномами n -й степени и называются полиномами Лежандра.
. (3)
, 
). Используя интегральную формулу Коши и пользуясь формулой для производной
(4)
, находим 
, 
,
, (5)
. (6)
. (7)
,
.
.
(8)
