Производящая функция и полиномы Лежандра

Полиномы Лежандра тесно связаны с фундаментальным решением уравнения Лапласа 1/ R, где R – расстояние от точки М до фиксированной точки М₀. Пусть r и r₀ – радиусы-векторы точек М и М₀, а - угол между ними. Очевидно, можно записать

, (1)

 

где ,

 

,

при , , .

,

при , , .

Функция

,

называется производящей функцией полиномов Лежандра.

Разложим функцию в ряд по степеням :

, , . (2)

Коэффициенты в разложение (2) являются полиномами n -й степени и называются полиномами Лежандра.

В силу теоремы Коши из формулы (2) следует, что

. (3)

Перейдем в комплексную плоскость (, ). Используя интегральную формулу Коши и пользуясь формулой для производной

(4)

Полагая , находим , ,

, (5)

где С ₁- любой контур, окружающий точку x = z. Подинтегральная функция имеет особенность, а именно полюс (n +1) порядка.

С помощью теории вычетов получим:

. (6)

Из формулы (6) непосредственно видно что:

1. P _n(x) есть полином степени n;

2. Полином P _n(x) содержит степени x той же четности, что и номер n, так что

. (7)

Граничное условие в точке x =1, дает:

,

т.е. .

Формула (6) называется дифференциальной формулой для полиномов Лежандра или формулой Родрига. С учетом (7)

.

Отметим, что из (1) и (3) следует разложение потенциала

(8)