А.А. Лапко, Е.А. Криштапович
1. Анализ операции. В порядке сравнения анализируем рассмотренную ранее операцию точения (рис. 1).
2. Постановка задачи. Для заданных условий токарной операции найти частоту n и подачу S, обеспечивающих минимум трудоёмкости t и гарантирующих требуемое качество обработки.
3. Разработка математической модели. 3.1. Целевая функция. Аналогично (1.1) целевая функция включает три слагаемых: t=tв+t0+tи=¦(s, n)=min (1) Вспомогательное время tв¹ ¦(s, n)=const (2) Основное время t0= Затраты времени на режущий инструмент
tи=t1 tи=
Подставив раскрытые значения слагаемых в целевую функцию (1), получим выражение для критерия трудоемкости в развернутом виде.
3.2. Технические ограничения. Для упрощения анализа будем рассматривать только следующие активные ограничения: 1) достаточность стойкости инструмента для обработки одной заготовки Тmax ³ T ³ t0 (6) 2) расчетные частоты и подачи должны принадлежать сетке режимов станка S Î SCT (7) n Î nCT (8) 3) предельная технологичная подача не должна превышать подачу, допускаемую уровнем шероховатости S £ S Ñ = 0.5 мм/об. (9) Выражения (5) – (9) представляют собой математическую модель трудоёмкости рассматриваемой операции для двух неизвестных. Расположим расчётные зависимости в алгоритмическом поряд- ке (табл. 1).
Таблица 1
4. Анализ математической модели.
Целевая функция (5) - нелинейная двухмерная зависимость трудоёмкости от частоты и подачи, имеющая минимум при S0 и n0. Построим геометрическую иллюстрацию математической модели на плоскости (рис. 2).
 Рис. 2
Получим условие для расчета координат линии АВ, огра-ничения (6)
T ³ t0
Или в численном виде
Результаты табулирования nт по (10 а) приведены в табл. 2
Таблица 2
Получим выражение для построения линии минимумов МЕ из условия равенства нулю первой производной.
откуда
Или в численном виде
Результаты табулирования n0 по (11 а) приведены в табл. 3
Таблица 3
На рис. 3 ОАВС - область допустимых решений на дискрет-ной сетке режимов станка. Характер целевой функции (5) иллюстрируется изолиниями 5, а вертикали 7 и горизонтали 8 характеризуют соответственно огра- ничения (7) и (8). Любая точка пересечения горизонталей и вертикалей в допустимой области одновременно удовлетворяет огра- ничениям 7 и 8. Вертикаль 9 является геометрической иллюстрацией ограничения (9). Построим по данным рис. 2 топографию трудоёмкости (рис.3)
Рис. 3
Топография трудоёмкости представляет собой «овражную» поверхность с изогнутым дном МЕ, понижающимся с увеличением подачи и снижением частоты. Задача относится к классу задач нелинейного программирования, так как целевая функция и технические ограничения нелинейны. В технологических задачах решение всегда находится на границе допустимой области (точка Е).
5. Методы оптимизации. Сделаем попытку найти минимум трудоёмкости методом частных производных. Для этого запишем целевую функцию в численном виде.
(13)
Система двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными (13), правые части которой равны, а левые не равны, называется несовместной, она не имеет решения, так как экстремум находится на границе области. Задача нелинейного программирования может быть решена следующими методами.
1) графическим (рисунок 2); 2) методом сканирования (перебора); 3) методом релаксации (покоординатного улучшения или методом Гаусса-Зейделя); 4) градиентным методом; 5) методом наискорейшего спуска; 6) случайным поиском; 7) методом крутого восхождения; 8) симплексным поиском. Некоторые из перечисленных методов будут рассмотрены далее на конкретных примерах.
6. Выводы
1. Зависимость трудоёмкости от режимов резания носит экстремальный характер (минимум). 2. Минимальное значение трудоёмкости tmin=6.53 мин. достигается при S0=0.5 мм/об, n0=583 1/мин. 3. Оптимизация позволила снизить трудоёмкость в Кt =
Контрольные вопросы 1. Как формулируется задача оптимизации режимов резания? 2. Сколько неизвестных содержит задача оптимизации? 3. По какому критерию выполняется оптимизация? 4. Что представляет собой целевая функция? 5. Какие технические ограничения учитываются при решении задачи? 6. Что представляет собой топография математической модели? 7. Из какого условия определяются координаты линии ограничения по стойкости инструмента? 8. Из какого условия определяются координаты линии минимумов? 9. Какими методами выполняется оптимизация режимов резания? 10. Что такое область допустимых решений?
А.А. Лапко, Е.А. Криштапович
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В ПРОМЫШЛЕННОСТИ И СЕЛЬСКОМ ХОЗЯЙСТВЕ
|
Рис. 1
(3)
; Т= 
; tи=t1 
;
(4)
(5)
n M-1 
(10)
(10 а)
(11)
(5а)
раза.
