Описание установки и вывод расчетной формулы. Установка состоит из источника переменного напряжения (понижающий трансформатор), резистора, катушки индуктивности

 

Установка состоит из источника переменного напряжения (понижающий трансформатор), резистора, катушки индуктивности, магазина емкостей, миллиамперметра и вольтметра.

Рассмотрим электрическую цепь переменного тока, составленную из последовательно соединенных источника E _u, резистора R, катушки индуктивности L, конденсатора С (рисунок 1).

Рисунок 1 Электрическая схема установки: ЛАТР – лабораторный автотрансформатор, R – резистор, L - катушка переменной

индуктивности, C - магазин емкостей,

mA - миллиамперметр, РV - вольтметр

 

Пусть по электрической цепи течет переменный ток, изменяющийся по гармоническому закону

 

I = I ₀× sin w t (1)

 

Напишем второе правило Кирхгофа для данной электрической цепи

U_R + U_L + U_C = E _u, (2)

 

где U_R, U_L, U_C – падения напряжений на резисторе, на катушке, на конденсаторе соответственно; E _u – э.д.с. источника тока.

Падение напряжения U _R определяется на основе закона Ома:

 

U_R = I × R = I₀ R × sin wt. (3)

 

Здесь U_0R = I₀ R – амплитудное значение напряжения. Из формул (3) и (1) видно, что ток и напряжение на резисторе совпадают по фазе.

Напряжение на катушке индуктивности определяется выражением

 

U_L = U_RL – E _S, (4)

 

где U_RL - падение напряжения на активном сопротивлении катушки, E _S э.д.с самоиндукции на катушке. Из-за того, что U_RL < < E _S (R _{катушки} < < ω L) имеем U _L = - E _S

 

или

, (5)

где U_0L =ω ·L·I₀ - амплитудное значение напряжения на катушке индуктивности.

Из выражений(1) и (5) видно, что напряжение на катушке индуктивности опережает по фазе силу тока на . Величину называют индуктивным сопротивлением.

 

Напряжение на конденсаторе выражается формулой

. (6)

Из определения силы тока I = имеем dq = Idt. Полный заряд, протекающий за конечное время t, определяется интегрированием

. (7)

Таким образом, напряжение на конденсаторе имеет вид

. (8)

Из выражений (1) и (8) видно, что напряжение на конденсаторе отстает по фазе от силы тока на . Амплитуды напряжения U _OC и силы тока I ₀ связаны соотношением

, (9)

Выражение = R _C называется емкостным сопротивлением.

Так как все члены уравнения (2) являются переменными величинами, изменяющимися по гармоническому закону, то сложение амплитудных значений этих напряжений производят по правилам сложения векторных величин или с помощью построения векторных диаграмм.

Падение напряжения на отдельных участках этой цепи равно U_R, U_L и U _C, а векторная диаграмма для амплитудных значений U _0R, U _0L и U _0C имеет вид, представленный на рисунке 2 а.

а б

Рисунок 2 Векторная диаграмма напряжений: а – векторы

U_ОR, U_ОL, U_ОC и I_О; б – сложение векторов U_ОR, U_OL, U_OC

 

Производя сложение векторов U_0L, U_0C и U_0R, представленных на рисунке 2 а, получим результирующее напряжение U ₀ (рисунок 2 б).

Из рисунка 2 б видно, что амплитуда результирующего напряжения U ₀ равна

. (10)

 

Из этого же рисунка видно, что ток I ₀ по фазе отстает от результирующего падения напряжения на угол φ.

Чтобы найти полное сопротивление этой цепи, векторную диаграмму приведем в координатах сопротивлений

. (11)

Из рисунка 3 видно, что полное сопротивление цепи Z определяется из выражения

Z² = R² + (R_L – R_C)² = R² + (ω L - )², т.е.

Z = . (12)

Рисунок 3 Векторная диаграмма сопротивлений

 

Когда U_0L = U_0C из выражения (12) следует, что , то есть, угол сдвига фаз φ между напряжением и силой тока обращается в нуль. Это означает, что ток в цепи определяется лишь активным сопротивлением R, а падения напряжений на катушке индуктивности и емкости взаимно компенсируются. Это явление называется резонансом напряжений. Если активное сопротивление R невелико, при резонансе ток может быть весьма большой, а величины напряжений на катушке индуктивности и емкости могут значительно превосходить величину э.д.с. источника. Мощность переменного тока определяется по формуле:

. (13)

или используя понятия действующих значений тока I и напряжения U мощность можно представить формулой

. (14)

 

Величину сдвига фаз φ можно определить из рисунка 2 б или 3

. (15)

Подставляя одно из этих выражений в формулу (13) для мощности P можно получить:

. (16)