Розв’язання. 8.

Оскільки, , - многочлен першого степеня, і , тому

= .

 

Приклад 2. Розв’язати рівняння .

Розв’язання. Це ЛНДР ІІ порядку зі сталими коефіцієнтами. Відомо, що .

1. Знайдемо загальний роз’язок відповідного ЛОДР: .

Корені цього рівняння і . Отже,

.

2. Знайдемо частинний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння. У правій частинні

даного рівняння функція має вигляд: ,

Многочлен має нульовий степінь, отже .

(), тому = .

Знайдемо похідні: = , = .

Підставимо вирази , , у вихідне рівняння.

Одержимо: . , , .

Отже, = .

3. Загальний розв’язок вихідного диференціального рівняння має вигляд:

= , , .

 

Приклад 3. Розв’язати задачу Коші: .

Розв’язання. Це ЛНДР ІІ порядку зі сталими коефіцієнтами. Відомо, що .

1. Знайдемо загальний роз’язок відповідного ЛОДР: .

Складемо =характеристичне рівняння Корені цього рівняння і

. Отже, .

2. Знайдемо частинний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння. У правій частинні

даного рівняння функція має вигляд: , .

Многочлен першого степеня, отже .

Тому = .

Знайдемо похідні: = , = .

Підставимо вирази , , у вихідне рівняння.

Одержимо: . .

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х, отримаємо:

Звідси, .

Отже, = .

3. Загальний розв’язок вихідного диференціального рівняння має вигляд:

= .

4. Знайдемо похідну загального розв’язку вихідного рівняння:

= (.

Підставляючи в і початкові умови , , одержимо систему

рівнянь для визначення сталих і :

Звідси, і .

Підставляючи ці значення і в , знаходимо частинний розв’язок 9розв’язок

задачі Коші): = .

 

Завдання для самостійної роботи

 

Знайти загальні розв’язки диференціальних рівнянь. Для зазначених диференціальних рівнянь розв’язати задачу Коші.

 

Рівняння Відповідь

1.

2.

3.

4.

5.

 

6.

 

7.

8.

9.

 

10.

11.

12.

13.

 

14.

 

15.

 

 

16.

 

17. .

 

Практичне заняття № 34

ТЕМА Різницеві лінійні рівняння.

Під час підготовки до цього заняття треба вивчити матеріал, викладений на сторінках 517 – 530 [10] та відповісти на питання.

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

 

1. Дайте означення лінійного різницевого рівняння n – го порядку.

2. Що називається розв'язком різницевого рівняння?

3. Запишіть загальний вигляд однорідного різницевого рівняння.

4. Який його розв’язок називають загальним?

5. Яке рівняння називається мультіплікаторним?

6. Як знайти загальний розв’язок неоднорідного різницевого рівняння?

 

РОЗВ’ЯЗАТИ ВПРАВИ

 

34.1 Знайти загальний розв’язок різницевих рівнянь:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

34.2 Знайти частинний розв’язок однорідного різницевого рівняння:

1) ;

2) ;

3) .

34.3 Знайти загальний розв’язок неоднорідного різницевого рівняння:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

 

Практичне заняття № 35

ТЕМА Застосування диференціальних рівнянь в економіці.

Розв’яжіть задачі економічного змісту

 

35.1 Кількість населення м. Одеси на 1 січня 2011 р. склало 1, 007 млн. чол.. і річний приріст за 2010 рік склав 0, 32%. Знайти населення м. Одеси у 2020 році, якщо тенденція зростання залишиться такою ж.

 

35.2 На 1 січня 2011 року в Україні було 45, 8 млн. чол.. і річний приріст за 2010 рік

склав -0, 44%. Яка кількість населення буде у 2015 році, якщо тенденція спаду

залишиться такою ж?

 

35.3 Повні витрати у є функцією об’єму виробництва х і при виробництві однієї одиниці продукції дорівнюють 2. Знайти функцію повних витрат, якщо граничні витрати для усіх значень х дорівнюють середнім витратам.

 

35.4 Повні витрати у є функцією об’єму виробництва х і при виробництві однієї одиниці продукції дорівнюють 1. Еластичність функції повних витрат дорівнює середнім витратам. Знайти функцію повних витрат.

 

35.5 Ціна деякого товару складає 30 умовних одиниць, а через t тижнів y(t). Визначити закон зміни ціни рівноваги товару, якщо попит визначається рівнянням , а пропозиція - . (Ціна рівноваги – ціна, коли попит дорівнює пропозиції).

 

35.6 Швидкість зростання кількості населення пропорційна кількості населення. Знайти закон зростання населення держави, в який у 2010 році було 50 млн. чол. Яка кількість населення буде у 2020 році?

 

35.7 Відносно попиту кількість одиниць х певного товару вартістю р за кожну одиницю відомо, що еластичність попиту, яка визначається формулою , постійна і дорівнює – 0, 5. Знайти функцію попиту на цей товар.

 

35.8 Знайти функцію попиту, якщо відомо значення ціні р в деякій точці х та еластичність має вигляд:

 

а) , і ;

б) , і .