РОЗДІЛ 8. РЯДИ

Практичне заняття № 36

ТЕМА Основні поняття. Збіжність рядів. Властивості збіжних рядів.

Гармонічний ряд.

Під час підготовки до цього заняття треба вивчити матеріал, викладений на сторінках 534-538 [5 ], 335 – 340 [1], 343 –348 [10] та відповісти на питання.

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

 

1. Як визначають числовий ряд, його частинну суму, суму ряду?

2. Який ряд називають збіжним, розбіжним?

3. Як математично записати необхідну умову збіжності числового ряду?

4. Який ряд називають рядом геометричної прогресії? Коли цей ряд збігається та

чому дорівнює його сума?

5. Який вигляд має і коли збігається узагальнений гармонічний ряд?

6. Сформулюйте основні властивості збіжних рядів.

 

РОЗВ’ЯЗАТИ ВПРАВИ

 

36.1 Знайти загальний член ряду:

 

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

 

36.2 Записати перших п’ять членів ряду та перевірити необхідну умову збіжн6ості:

 

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

 

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

 

36.3 Знайти суму ряду:

 

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

 

 

Практичне заняття № 37

ТЕМА Дослідження збіжності додатних числових рядів.

Під час підготовки до цього заняття треба вивчити матеріал, викладений на сторінках 538-542 [5], 341-343 [ 1], 346 –355 [10] та відповісти на питання.

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

 

1. Сформулюйте ознаку порівняння.

2. Сформулюйте ознаку Д’Аламбера.

3. Сформулюйте радикальну ознаку Коші.

4. Сформулюйте інтегральну ознаку Коші.

 

РОЗВ’ЯЗАТИ ВПРАВИ

 

37.1 Застосовуючи ознаку порівняння, дослідити на збіжність ряд:

 

1) ;

 

2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

 

37.2 Дослідити збіжність ряду за ознакою Д’Аламбера:

 

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

 

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

 

37.3 Дослідити збіжність ряду з використанням радикальної ознаки Кощі:

 

1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) .

 

 

37.4 Дослідити збіжність ряду за інтегральною ознакою Коші:

 

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

 

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

 

 

Практичне заняття № 38

ТЕМА Дослідження збіжності знакозмінних рядів.

Під час підготовки до цього заняття треба вивчити матеріал, викладений на сторінках 543-545 [5], 344-346 [1], 356-360 [10] та відповісти на питання.

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

 

1. Як визначають знакозмінний ряд?

2. Коли застосовується і як формулюється ознака збіжності Лейбніца?

3. Дайте означення абсолютної та умовної збіжності знакозмінного ряду.

 

РОЗВ’ЯЗАТИ ВПРАВИ

 

38.1 Дослідити збіжність знакозмінних рядів:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

 

38.2 Дослідити на абсолютну збіжність:

 

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ;

6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) .

 

 

Практичне заняття № 39

ТЕМА Знаходження області збіжності степеневого ряду.

Під час підготовки до цього заняття треба вивчити матеріал, викладений на сторінках 553-558 [5], 349 – 351 [1], 366-370 [ 10] та відповісти на питання.

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

 

1. Дайте означення степеневого ряду.

2. Який інтервал називають інтервалом збіжності степеневого ряду?

3. Як визначають та знаходять радіус збіжності степеневого ряду?

 

РОЗВ’ЯЗАТИ ВПРАВИ

 

39.1 Знайти область збіжності степеневого ряду:

 

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ; 7) ;

 

8) ; 9) ; 10) ; 11) .

 

Практичне заняття № 40

ТЕМА Розклад функцій в ряд Маклорена. Наближене обчислення значення функцій.

Під час підготовки до цього заняття треба вивчити матеріал, викладений на сторінках 558-562 [5], 352-358 [1], 371-374 [10] та відповісти на питання.

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

 

1. Який вигляд мають розклади функцій у ряд Тейлора та ряд Маклорена?.

2. Який порядок дій доцільно застосувати при знаходженні наближеного значення

функції, визначеного інтегралу?

3. Як можна оцінити похибку наближеного обчислення значення функції або

визначеного інтегралу?

 

РОЗВ’ЯЗАТИ ВПРАВИ

 

40.1 Знайти розклад в степеневий ряд функцій:

 

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

 

40.2 Знайти , користуючись розкладом функції в ряд

Маклорена (обмежуючись першими трьома членами).

 

40.3 Знайти , користуючись розкладом функції в ряд Маклорена

(обмежуючись першими трьома членами).

 

40.4 Знайти , користуючись розкладом функції в ряд Маклорена

(обмежуючись першими трьома членами).

 

40.5 Знайти , користуючись розкладом функції в ряд Маклорена

(обмежуючись першими трьома членами).

40.6 Знайти наближене значення інтегралу з точністю до 0, 01.

40.7 Знайти наближене значення інтегралу з точністю до 0, 001.

40.8

ЗВИЧАЙНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

 

Стандартний вигляд	Назва рівняння	Метод розв’язування
	З відокремлюваними змінними	Після розподілення змінних інтегрувати
	Однорідне першого порядку	Використовуючи допоміжну функцію звести до рівняння з відокремлюваними змінними та інтегрувати
	Лінійне першого порядку	Зводиться до двох рівнянь з відокремлюваними змінними за допомогою функції , де u i v - допоміжні функції
	Рівняння Бернуллі	Звести до лінійного рівняння першого порядку відносно допоміжної функції , знайти його загальний розв’язок, а потім повернутись до функції у
	Другого порядку	Підстановка , тоді . Приходимо до рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними або
	Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами	Скласти характеристичне рівняння та знайти його корені. Якщо: 1) - дійсні і різні, то загальний розв’язок має вигляд 2) , то 3) корені комплексно спряжені , , то
	Лінійне неоднорідне рівняння другого порядку	Загальний розв’язок має вигляд , де - загальний розв’язок відповідного ЛОДР, - довільний частинний розв’язок ЛНДР. Якщо , то , де (далі див. стор. 76)