Зрівнювання геодезичного чотирикутника параметричним методом

Література: [3], С. 8-40; [4], С. 115-140; [5], С. 292-298, С. 312-324, С. 365-377.

Зміст роботи. На місцевості побудована мережа у вигляді геодезичного чотирикутника. Відомі координати двох вихідних пунктів і значення виміряних напрямків всередині чотирикутника. Необхідно знайти координати двох шуканих пунктів, які максимально відповідали б їх дійсним значенням.

Робота складається з двох етапів: зрівнювання результатів вимірювань параметричним методом; оцінка точності вимірювань.

Вихідні дані. Видаються викладачем за індивідуальним номером варіанту.

Приклад. За відомими координатами вихідних пунктів і (табл. 9) і виміряними напрямками (табл. 8) виконати зрівнювання геодезичного чотирикутника , знайти координати шуканих пунктів і , та виконати оцінку точності вимірювань.

Таблиця 8 – Виміряні напрямки

Станція	Пункт візування	Виміряний напрямок
Ч	Х	0° 00' 00.00''
Ф	45° 52' 17.75''
Н	92°46' 59.99''
Х	Ч	0° 00' 00.00''
Ф	272° 02' 47.02''
Н	319° 27' 32.07''
Ф	Ч	0° 00' 00.00''
Х	46° 10' 28.22''
Н	319° 53' 56.66''
Н	Ч	0° 00' 00.00''
Х	46° 40' 32.18''
Ф	92° 59' 14.32''

 

Спочатку будуємо схему геодезичної мережі в масштабі 1: 50000 (рис. 17 г). Для цього на окремому аркуші паперу креслимо дві взаємно перпендикулярні осі – та , і оцифровуємо їх відповідно до заданого масштабу. Початок координат обираємо довільно, але так, щоб схема мала компактні розміри.

Наносимо на схему вихідні пункти і за їх прямокутними координатами та з’єднуємо їх прямою лінією (рис. 17 а). З вихідних пунктів за допомогою транспортиру будуємо виміряні напрямки (табл. 8) на шукані пункти і .

Рис. 17 – Побудова схеми геодезичного чотирикутника

 

Для цього спочатку суміщаємо центр транспортира з пунктом (рис. 17 б), та обертаємо транспортир таким чином, щоб відлік 46° 10' 28.22'' був зорієнтований на пункт . В такому положенні транспортира відлік 0° 00' 00.00'' відповідає напрямку на пункт , – будуємо його на схемі.

Щоб побудувати напрямок з пункту на пункт (319° 53' 56.66''), розвертаємо транспортир на 180° (рис. 17 в). Знаходимо на шкалі транспортира відлік, який дорівнює 319° 53' 56.66'' – 180° = 139° 53' 56.66'', відмічаємо його на схемі та будуємо напрямок на пункт .

Аналогічним чином будуємо напрямки на пункти і з пункту . На перетині однойменних напрямків отримуємо шукані пункти. З’єднуємо всі чотири пункти між собою прямими лініями та нумеруємо за ходом годинникової стрілки внутрішні кути побудованого чотирикутника (рис. 17 г).

Таблиця 9 – Координати вихідних і шуканих пунктів

Назва пункту	Наближені координати, м	Поправки, м	Вихідні і зрівняні координати, м
	-	-	-	-	2978389.227	7078097.535
	-	-	-	-	2977946.892	7073871.444
	2974066.218	7078267.439	-0.049	0.016	2974066.169	7078267.455
	2973717.793	7074467.435	-0.008	-0.008	2973717.785	7074467.426

За виміряними напрямками обчислюємо значення горизонтальних кутів, результати заносимо до табл. 10 (колонка 4). Наприклад, перший кут, виміряний зі станції , буде дорівнювати різниці напрямків на пункти і

Таблиця 10 – Виміряні і зрівняні кути

№ кута	Вільні члени, сек	Кути, обчислені за наближеними координатами	Виміряні кути	Поправ-ки, сек	Зрівняні кути
		47° 24' 45.05'' 53' 57.90	47° 24' 45.05'' 53' 57.90	0.91	47° 24' 45.96'' 53' 57.90
		46° 10' 28.22'' 49' 1.61	46° 10' 28.22'' 49' 1.61	-0.06	46° 10' 28.16'' 49' 1.61
		40° 06' 03.34'' 12' 31.87	40° 06' 03.34'' 12' 31.87	0.75	40° 06' 04.09'' 12' 31.87
	1.25	46° 18' 43.39'' 4' 28.05	46° 18' 42.14'' 4' 28.05	-0.36	46° 18' 41.78'' 4' 28.05
	1.76	46° 40' 33.94'' 28' 41.38	46° 40' 32.18'' 28' 41.38	0.34	46° 40' 32.52'' 28' 41.38
	-2.91	46° 54' 39.33'' 14' 20.50	46° 54' 42.24'' 14' 20.50	-0.63	46° 54' 41.61'' 14' 20.50
	1.05	45° 52' 18.80'' 42' 19.70	45° 52' 17.75'' 42' 19.70	0.65	45° 52' 18.40'' 42' 19.70
		40° 32' 27.93'' 34' 39.57	40° 32' 27.93'' 34' 39.57	-0.46	40° 32' 27.47'' 34' 39.57
∑	1.15	360° 00' 00.00'' 14' 20.50	359° 59' 58.85'' 14' 20.50	1.15	360° 00' 00.00'' 14' 20.50

Підраховуємо кількість невідомих , якими в даному випадку є координати і шуканих пунктів і , тобто . Число незалежних вимірювань . Число надлишкових вимірювань, відповідно, становить .

За виміряними кутами (табл. 10) та координатами вихідних пунктів (табл. 9) обчислюємо наближені координати і шуканих пунктів і . Використовуємо для цього допоміжну схему взаємного розміщення пунктів в трикутнику (рис. 18) і формули Юнга

де – координати лівого пункту і правого пункту відповідно.

– кути трикутника, вершинами яких є відповідно пункти і .

Рис. 18 – Пояснювальна схема до формул (52)

При позначенні вершин трикутника керуються таким правилом: якщо дивитися із середини базисної сторони трикутника на шуканий пункт, то ліворуч буде знаходитися вихідний пункт і виміряний кут , а праворуч – вихідний пункт і виміряний кут .

Застосувавши це правило, виділяємо з чотирикутника два трикутники – і (рис. 19).

Рис. 19 – Трикутники, з яких отримують координати шуканих пунктів

Для пунктів і згідно із рис. 19 формули (52) приймуть такий вигляд

Підставляємо в формули (53) числові значення та отримуємо наближені координати пунктів і . Обчислення виконуємо в табл. 11. Результати заокруглюємо до 0.001 м.

Таблиця 11 – Обчислення наближених координат шуканих пунктів

Назва пункту	Виміряні кути	Координати
	86° 16' 31.56''	2978389.227	7078097.535
	47° 24' 45.05''	2977946.892	7073871.444
		2974066.218	7078267.439
	46° 10' 28.22''	2978389.227	7078097.535
	87° 57' 12.98''	2977946.892	7073871.444
		2973717.793	7074467.435

 

Обчислені наближені координати пунктів і заносимо до табл. 9. Складаємо рівняння поправок до виміряних кутів

де – поправки до наближених координат;

– вільний член рівняння поправок;

– поправка до виміряного кута.

Вільні члени рівнянь поправок обчислюємо за формулою

(54)

де – виміряний кут;

– кут, обчислений за наближеними координатами.

Кути, обчислені за наближеними координатами, отримуємо із виразу

Для спрощення обчислень заповнюємо табл. 12, в якій представляємо коефіцієнти рівнянь поправок в буквеному позначенні.

Таблиця 12 – Коефіцієнти рівнянь поправок в буквеному позначенні

Пункт   Кут	Поправки до наближених координат
			-------------------	-------------------
	-------------------	-------------------
			-------------------	-------------------
Продовження таблиці 12
	-------------------	-------------------

Підставивши в формулу (55), вихідні координати пунктів і та наближені координати пунктів і , обчислюємо тангенси кутів . Значення кутів отримуємо через арктангенс. Обчислення представлені в табл. 13. Контроль обчислень – сума кутів повинна дорівнювати 360°.

Таблиця 13 – Обчислення кутів за наближеними координатами

№ кута	Напрямок	Приріст	Тангенс кута	Значення кута
		442.335	4226.091	1.08796865	47° 24' 45.05''
	-3880.674	4395.995
		-4671.434	-3630.100	1.04186197	46° 10' 28.22''
	-442.335	-4226.091
		-4323.009	169.904	0.84210587	40° 06' 03.34''
	-4671.434	-3630.100
		3880.674	-4395.995	1.04688104	46° 18' 43.39''
	4323.009	-169.904
		-348.425	-3800.004	1.06028756	46° 40' 33.94''
	3880.674	-4395.995
		4671.434	3630.100	1.06903179	46° 54' 39.33''
	348.425	3800.004
		4229.099	-595.991	1.03090738	45° 52' 18.80''
	4671.434	3630.100
		-3880.674	4395.995	0.85532178	40° 32' 27.93''
	-4229.099	595.991

Кути, обчислені за наближеними координатами, заносимо до табл. 10 (колонка 3). За формулою (54) обчислюємо вільні члени рівнянь поправок, результати заносимо до табл. 10 (колонка 2).

За виразами, наведеними в табл. 9, використовуючи значення і з табл. 13, обчислюємо значення коефіцієнтів рівнянь поправок. Щоб не отримувати занадто великих значень коефіцієнтів рівнянь поправок і з метою запобігання втрати точності обчислень, зменшимо постійну в 100 разів, тобто приймемо .

З числових значень коефіцієнтів рівнянь поправок формуємо матрицю .

.

Транспонуємо матрицю і помножимо її на таку ж матрицю. В результаті отримаємо матрицю коефіцієнтів нормальних рівнянь .

Знаходимо матрицю, обернену до матриці .

.

Обчислюємо матрицю-стовбець вільних членів нормальних рівнянь .

.

Обчислюємо вектор-стовбець поправок до наближених координат пунктів і . Результати отримуємо в сантиметрах.

Отримані поправки заносимо до табл. 6, попередньо зменшивши їх в 100 разів, щоб розмірність була в метрах.

Знаходимо в табл. 9 значення зрівняних координат шуканих пунктів і .

Обчислюємо вектор-стовбець поправок до виміряних кутів. Результати отримуємо в секундах.

Отримані результати заносимо до табл. 10 і обчислюємо зрівняні кути. Для контролю обчислень знаходимо суму зрівняних кутів, – вона повинна дорівнювати 360° 00' 00.00''. В даному випадку умова виконується.

На цьому зрівнювання результатів вимірювань завершено. Після зрівнювання виконуємо оцінку точності вимірювань.

Обчислюємо емпіричну середню квадратичну похибку виміряного кута за формулою

де – поправка до виміряного кута;

– кількість вимірювань;

– кількість невідомих.

Оцінюємо надійність емпіричної середньої квадратичної похибки за формулою

Обчислюємо середню квадратичну похибку зрівняного кута за формулою

Позначивши , знаходимо середні квадратичні похибки положення шуканих пунктів і за осями координат, використовуючи діагональні елементи матриці

.

Пункт Пункт

Знаходимо кругові середні квадратичні похибки положення пунктів і за формулою

Використовуючи елементи матриці , знаходимо параметри еліпсів похибок (рис. 20), орієнтування і розміри осей якого визначають найбільш вірогідні напрямки і величину максимальної і мінімальної середньої квадратичної похибки положення пунктів і .

b

P

a

Y

V

U

 

 

Рис. 20 – Параметри еліпсу похибок

Кут повороту осей еліпсу похибок знаходимо із виразу

де – елементи матриці .

Якщо кут , обчислений за формулою (60) приймає від’ємне значення, додаємо до нього 180°.

Із матриці виділяємо 2 блоки: перший відповідає пункту Н, другий – пункту Ч (в тому порядку, в якому вони були внесені до табл. 12).

Пункт Н Пункт Ч

Пункт Н

 

 

>

Пункт Ч

 

 

Розміри великої і малої напіввісі еліпсів похибок, відповідно, обчислюємо за формулами

де елементи і дорівнюють

Отже, підставивши числові значення елементів матриці у вирази (61) і (62), отримаємо такі результати

Пункт Н Пункт Ч

За обчисленими параметрами еліпсів похибок (), будуємо їх на схемі геодезичної мережі. Прикладаємо транспортир вертикально, центром до пункту Н (рис. 21). Під кутом відкладаємо в обидва боки від пункту Н відстань . Таким чином отримуємо велику вісь еліпсу похибок. Під кутом до неї відкладаємо відстані від пункту Н – отримуємо малу вісь еліпсу. Навколо побудованих осей будуємо еліпс похибок.

Рис. 21 – Побудова еліпсу похибок

Аналогічно будуємо другий еліпс похибок навколо пункту Ч. В результаті отримуємо схему геодезичного чотирикутника ЧХФН, побудовану в масштабі 1: 50000, з нанесеними в масштабі 1: 1 еліпсами похибок.

Таким чином, застосувавши параметричний метод зрівнювання, були знайдені координати шуканих пунктів Н і Ч (табл. 9), які максимально відповідають їх дійсним значенням. Виконано оцінку точності вимірювань, основні характеристики якої проілюстровані графічно на схемі геодезичного чотирикутника (Додаток Ж).