Зрівнювання геодезичного чотирикутника корелатним методом

Література: [3], С. 40-64; [4], С. 140-159; [5], С. 324-330, С. 339-346, С. 348-358.

Зміст роботи. На місцевості побудована мережа у вигляді геодезичного чотирикутника. Відомі координати двох вихідних пунктів і значення виміряних напрямків всередині чотирикутника. Необхідно знайти координати двох шуканих пунктів, які максимально відповідали б їх дійсним значенням.

Робота складається з двох етапів: зрівнювання результатів вимірювань корелатним методом; оцінка точності вимірювань.

Вихідні дані. Видаються викладачем за індивідуальним номером варіанту.

Приклад. За відомими координатами вихідних пунктів і (табл. 6) і виміряними напрямками (табл. 5) виконати зрівнювання геодезичного чотирикутника , знайти координати шуканих пунктів і , та виконати оцінку точності вимірювань.

Спочатку будуємо схему геодезичної мережі в масштабі 1: 50000 (рис. 22), як це описано в п. 3.1.

Рис. 22 – Схема геодезичного чотирикутника

За виміряними напрямками обчислюємо значення горизонтальних кутів, результати заносимо до табл. 14 (колонка 1).

Визначаємо кількість надлишкових вимірювань за формулою

де – кількість невідомих, якими в даному випадку є координати і шуканих пунктів і , тобто ;

– кількість незалежних вимірювань; .

Отже число надлишкових вимірювань становить

.

Таблиця 14 – Виміряні і зрівняні кути, коефіцієнту умовних рівнянь.

№	Виміряні кути	Коефіцієнти умовних рівнянь	Поправки, сек.	Зрівняні кути
a	b	c	d
k =	-0.000	-0.000	-0.000	-0.000
	47° 24' 45.05'' 53' 57.90				0.919	0.91	47° 24' 45.96'' 53' 57.90
	46° 10' 28.22'' 49' 1.61				-0.960	-0.06	46° 10' 28.16'' 49' 1.61
	40° 06' 03.34'' 12' 31.87				1.187	0.75	40° 06' 04.09'' 12' 31.87
	46° 18' 42.14'' 4' 28.05				-0.955	-0.36	46° 18' 41.78'' 4' 28.05
	46° 40' 32.18'' 28' 41.38		-1		0.943	0.34	46° 40' 35.52'' 28' 41.38
	46° 54' 42.24'' 14' 20.50		-1		-0.935	-0.63	46° 54' 41.61'' 14' 20.50
	45° 52' 17.75'' 42' 19.70			-1	-0.970	0.65	45° 52' 18.40'' 42' 19.70
	40° 32' 27.93'' 34' 39.57			-1	-1.169	-0.46	40° 32' 27.47'' 34' 39.57
	W =	-1.15	-1.15	-0.20	-4.209	1.15	360° 00' 00.00'' 53' 57.90

Складаємо умовні рівняння. В даному випадку будемо мати

1. Одну умову чотирикутника

де ,

2. Дві умови сум і різниць

де ,

.

3. Умову полюсу

де

За формулами (63), (64), (65) визначаємо коефіцієнти умовних рівнянь і заносимо їх до відповідних колонок табл. 14.

Обчислюємо вільні члени (нев’язки) W умовних рівнянь, які розміщуємо в нижній частині табл. 14. Із числових значень коефіцієнтів умовних рівнянь, представлених в табл. 14, формуємо матрицю .

Транспонуємо матрицю

Обчислюємо матрицю коефіцієнтів нормальних рівнянь

Находимо матрицю , обернену до матриці

Обчислюємо корелати

Результати заносимо до табл. 14. Обчислюємо поправки до виміряних кутів

Здійснюємо контроль зрівнювальних обчислень за формулою

В результаті маємо

Поправки заносимо до табл. 14 і там же обчислюємо зрівняні кути. Для контролю обчислень знаходимо суму зрівняних кутів, – вона повинна дорівнювати 360° 00' 00.00''. В даному випадку умова виконується.

Використовуючи зрівняні кути за формулами Юнга (52), обчислюємо координати шуканих пунктів (табл. 15).

Таблиця 15 – Обчислення координат шуканих пунктів

Назва пункту	Зрівняні кути	Координати
	86° 16' 32.25''	2978389.227	7078097.535
	47° 24' 45.96''	2977946.892	7073871.444
		2974066.169	7078267.455
	46° 10' 28.16''	2978389.227	7078097.535
	87° 57' 13.44''	2977946.892	7073871.444
		2973717.785	7074467.426

На цьому зрівнювання результатів вимірювань завершено. Після зрівнювання виконуємо оцінку точності вимірювань.

Обчислюємо емпіричну середню квадратичну похибку виміряного кута за формулою

де – поправка до виміряного кута;

– кількість надлишкових вимірювань.

Оцінюємо надійність емпіричної середньої квадратичної похибки за формулою

Обчислюємо середню квадратичну похибку зрівняного кута за формулою

Далі визначаємо сукупну середню квадратичну похибку положення шуканих пунктів відносно вихідних. Для спрощення задачі оцінки точності введемо допоміжну систему координат (рис. 23):

- за початок умовної системи координат приймемо пункт Х;

- вісь абсцис спрямуємо вздовж лінії ХФ.

Рис. 23 – Геодезичний чотирикутник в умовній системі координат

Обчислюємо координати шуканих пунктів і в прийнятій системі координат. Як видно з рис. 00, координати пункту дорівнюватимуть

Так як пункт Х є початком координат, то ; , а формули (69) приймають вигляд

Довжина лінії є невідомою. Її находимо із трикутника , застосувавши теорему синусів, за формулою

де – довжина базисної лінії ХФ; її обчислюємо за координатами вихідних пунктів

Підставивши вираз (71) в формули (70), отримаємо

 

Аналогічно знайдемо координати пункту Ч в умовній системі координат

Довжину лінії находимо із трикутника за формулою

де – довжина базисної лінії ХФ;

Підставивши вираз (73) в формули (72), отримаємо

Далі, користуючись таблицею похідних (додаток Е), знаходимо елементи матриці , які є частковими похідними координат шуканих пунктів за виміряними кутами.

Отримані часткові похідні ділимо на , щоб перейти від кутової міри до лінійної, і заносимо до табл. 16.

За формулами, приведеними в табл. 11, обчислюємо елементи матриці

Транспонуємо матрицю

Таблиця 16 – Часткові похідні координат шуканих пунктів

за виміряними кутами

			__________	__________
			__________	__________
	__________	__________	__________	__________
	__________	__________	__________	__________
	__________	__________
	__________	__________

Обчислюємо матрицю

помноживши яку на квадрат емпіричної середньої квадратичної похибки , знайдемо на сукупну похибку положення шуканих пунктів.

Позначивши , знаходимо середні квадратичні похибки положення шуканих пунктів і за осями координат, використовуючи діагональні елементи матриці

.

Пункт Пункт

Знаходимо кругові середні квадратичні похибки положення пунктів і за формулою (00)

Використовуючи елементи матриці , знаходимо параметри еліпсів похибок (рис. 1), орієнтування і розміри осей якого визначають найбільш вірогідні напрямки і величину максимальної і мінімальної середньої квадратичної похибки положення пунктів і .

Кут повороту осей еліпсу похибок знаходимо із виразу

де – елементи матриці .

Якщо кут , обчислений за формулою (63) приймає від’ємне значення, додаємо до нього 180°.

Із матриці виділяємо 2 блоки: перший відповідає пункту Н, другий – пункту Ч (в тому порядку, в якому вони були внесені до табл. 00).

Пункт Н Пункт Ч

Пункт Н

 

 

 

Пункт Ч

 

Розміри великої і малої напіввісі еліпсів похибок, відповідно, обчислюємо за формулами

де елементи і дорівнюють

Отже, підставивши числові значення елементів матриці у вирази (01) і (99), отримаємо такі результати

Пункт Н Пункт Ч

За обчисленими параметрами еліпсів похибок (), будуємо їх на схемі геодезичної мережі.

Таким чином, застосувавши параметричний метод зрівнювання, були знайдені координати шуканих пунктів Н і Ч (табл. 15), які максимально відповідають їх дійсним значенням. Виконано оцінку точності вимірювань, основні характеристики якої проілюстровані графічно на схемі геодезичного чотирикутника (Додаток Ж).