С сезонными колебаниями

Модель временного ряда с сезонными колебаниями можно рассматривать в следующих возможных формах:

, ,

где T – регулярная (основная) компонента, характеризующая общую тенденцию ряда (тренд),

S – сезонная компонента (внутригодичные колебания), в общем случае – циклическая составляющая,

E – случайная компонента (случайные отклонения).

 

Расчет сезонной составляющей.

Проверку на наличие или отсутствие сезонных колебаний можно провести визуально при построении графика или при анализе коррелограммы. Если наиболее высоким по сравнению с другими (кроме ) оказался коэффициент автокорреляции порядка k, ряд содержит циклические колебания с периодичностью в k моментов времени.

Пример 1.

Провести анализ коррелограммы по следующим данным спроса на прохладительные напитки за последовательные 16 кварталов

№ квартала

Спрос y

Очевидно наличие циклических колебаний. С помощью функции Корелл находим коэффициенты автокорреляции. Максимальный лаг должен быть не больше n /4, в нашем случае – не больше 4. Результаты расчета приведены в таблице

0, 138485	-0, 49654	0, 054228	0, 985546

Наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции четвертого порядка, т.е. период колебаний равен 4.

 

Значения сезонной компоненты рассчитывают методом скользящей средней и построением аддитивной или мультипликативной модели.

Аддитивную модель применяют в том случае, если амплитуда сезонных колебаний со временем не меняется.

Если происходят существенные изменения амплитуды сезонных колебаний, то для моделирования временного ряда применяют мультипликативную модель .

Процесс построения модели проводят в следующей последовательности:

1. Расчет значений сезонной компоненты;

2. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной модели и в мультипликативной.

3. Подбор линии тренда. Расчет значений T по уравнению тренда.

4. Расчет полученных по модели значений или .

5. Расчет случайной компоненты (т.е. ошибок) или .

Если полученные значения не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок Е для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

 

Пример.

Имеются поквартальные данные по розничному товарообороту в России за 5 лет. Построить мультипликативную модель временного ряда.

Рассчитаем период колебаний.

r1	r2	r3	r4	r5
0, 544397543	0, 02207	0, 029835	0, 256621	-0, 30614

Вывод: из всех коэффициентов автокорреляции (кроме ) самое высокое значение (по модулю) – у . Моделируем сезонные колебания с периодом 5.

t	y	Скользящая средняяя за 5 кварталов (СС)	центрированная скользящая средняя (ЦСС)	Сезонная компо нента
	93, 9
	96, 5
	101, 8	99, 26	99, 63	1, 021780588
	107, 8	99, 62	99, 44	1, 084070796
	96, 3	99, 96	99, 79	0, 965026556
	95, 7	100, 4	100, 18	0, 955280495
	98, 2	98, 64	99, 52	0, 986736334
		99, 14	98, 89	1, 051673577
		101, 8	100, 47	0, 985368767
	98, 8	104, 78	103, 29	0, 956530158
		103, 66	104, 22	1, 045864517
	113, 1	103, 32	103, 49	1, 092859213
	98, 4	103, 98	103, 65	0, 94934877
	97, 3	101, 7	102, 84	0, 946129911
	102, 1	95, 82	98, 76	1, 03381936
	97, 6		94, 41	1, 033788794
	83, 7	91, 22	92, 11	0, 908696124
	84, 3
	88, 4
Сумма				15, 01697396

 

Откорректируем сезонную компоненту, в мультипликативной модели суммарная сезонная компонента должна быть равна величине периода, т.е. 5. Разделим весь объем данных на группы кварталов с одинаковым номером в своем периоде.

Группа	Кварталы	Сезонная компонента S	Средняя S по группе	Корректи рующий коэффициент k	Скорректи рованая сезонная компонента S*k
I				1, 001131597
	0, 96502656
	0, 95653016	0, 985125	0, 98624012
	1, 03381936
II
	0, 9552805
	1, 04586452	1, 011645	1, 01278938
	1, 03378879
III
	0, 98673633
	1, 09285921	0, 996097	0, 99722441
	0, 90869612
IV		1, 02178059
	1, 05167358
	0, 94934877	1, 007601	1, 00874118
V		1, 0840708
	0, 98536877
	0, 94612991	1, 00519	1, 00632729
Сумма					5, 01132238

 

Примечание. Корректирующий коэффициент равен средней арифметической всех средних сезонных компонент, вычисленных по группам.

Уравнение параболического тренда подобрано при построении графика в меню Диаграмма: .

Продолжим расчеты в таблице

 

t	y	Скорректи рованая сезонная компонента S*k	Удаление из временного ряда сезонной составляющей y/(S*k)	Тренд, вычисленный по данным с удаленной сезонной компонентой, Т	T*(S*k)	E=y/(T*(S*k))	E2	(y-yср)2
		0, 986240	101, 3951	94, 5768	93, 2754	1, 0720936	1, 14938	2, 9070
	93, 9	1, 012789	92, 71424	96, 5888	97, 8241	0, 9598860	0, 92138	19, 316
	96, 5	0, 997224	96, 76859	98, 327	98, 0540	0, 9841507	0, 96855	3, 2220
	101, 8	1, 008741	100, 9178	99, 7914	100, 663	1, 0112881	1, 02270	12, 285
	107, 8	1, 006327	107, 1222	100, 982	101, 620	1, 0608049	1, 12530	90, 345
	96, 3	0, 986240	97, 64356	101, 8988	100, 496	0, 9582405	0, 91822	3, 9800
	95, 7	1, 012789	94, 49151	102, 5418	103, 853	0, 9214926	0, 84914	6, 7340
	98, 2	0, 997224	98, 47332	102, 911	102, 625	0, 9568784	0, 91561	0, 0090
		1, 008741	103, 0987	103, 0064	103, 906	1, 0008969	1, 00179	32, 547
		1, 006327	98, 37753	102, 828	103, 478	0, 9567193	0, 91531	0, 4970
	98, 8	0, 986240	100, 1784	102, 3758	100, 967	0, 9785363	0, 95753	0, 2550
		1, 012789	107, 6235	101, 6498	102, 949	1, 0587680	1, 12099	114, 59
	113, 1	0, 997224	113, 4147	100, 65	100, 370	1, 1268235	1, 26973	219, 18
	98, 4	1, 008741	97, 54732	99, 3764	100, 245	0, 9815944	0, 96352	0, 0110
	97, 3	1, 006327	96, 68822	97, 829	98, 4479	0, 98833909	0, 97681	0, 9900
	102, 1	0, 986240	103, 5244	96, 0078	94, 6867	1, 0782924	1, 16271	14, 478
	97, 6	1, 012789	96, 36751	93, 9128	95, 1138	1, 0261382	1, 05296	0, 4830
	83, 7	0, 997224	83, 93296	91, 544	91, 2899	0, 9168592	0, 84063	213, 014
	84, 3	1, 008741	83, 56950	88, 9014	89, 6785	0, 9400246	0, 88364	195, 86
	88, 4	1, 006327	87, 84418	85, 985	86, 5290	1, 0216221	1, 04371	97, 911
Сумма							20, 0596	1028, 6
Среднее	98, 2

 

Отношение суммы квадратов абсолютных ошибок к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего значения:

.

Построенная модель достоверна на 99, 05%.

Вычислим прогнозное значение величины розничного товарооборота в России во третьем квартале года, следующего после окончания статистических наблюдений. Имеем , , . Тогда

.

 

Рассмотрим методику построения аддитивной модели на примере.

Пример 2.

Имеются следующие данные об экспорте РФ нефтепродуктов за 2002-2005 гг. по данным Федеральной таможенной службы России:

Квартал	Экспорт – всего (в страны дальнего зарубежья и СНГ), млн т.
I	17, 8	19, 7	21, 7
II	20, 2	20, 8	24, 1
III	21, 1	21, 6	26, 1	26, 7
IV	18, 5	20, 3	25, 3	25, 8

 

1) Применим методику скользящего выравнивания для дальнейшего создания аддитивной модели

Годы	Квартал	Объем экспорта y	Итого за 4 квартала	Скользящая средняя за 4 квартала	Центрированная скользящая средняя	Сезонная компонента S
	I	17, 8	–	–	–	–
II	20, 2	77, 6	19, 4	–	–
III	21, 1	79, 5	19, 9	19, 65	21, 1-19, 65=1, 45
IV	18, 5	80, 1		19, 95	18, 5-19, 95=-1, 45
	I	19, 7	80, 6	20, 2	20, 1	19, 7-20, 1=-0, 4
II	20, 8	82, 4	20, 6	20, 4	20, 8-20, 4=0, 4
III	21, 6	84, 4	21, 1	20, 85	21, 6-20, 85=0, 75
IV	20, 3	87, 7	21, 9	21, 5	20, 3-21, 5=-1, 2
	I	21, 7	92, 2	23, 1	22, 5	21, 7-22, 5=-0, 8
II	24, 1	97, 2	24, 3	23, 7	24, 1-23, 7=0, 4
III	26, 1	99, 5	24, 9	24, 6	26, 1-24, 6=1, 5
IV	25, 3	102, 4	25, 6	25, 25	25, 3-25, 25=0, 05
	I			25, 8	25, 7	24-25, 7=-1, 7
II		103, 5	25, 9	25, 85	27-25, 85=1, 15
III	26, 7	–	–	–	–
IV	25, 8	–	–	–	–

 

Полученная модель динамики экспорта может быть использована с некоторыми ограничениями. С I по III квартал наблюдается повышение экспорта, а в конце года – снижение показателя, однако центрированная средняя показывает только тенденцию повышения.

2) Продолжим расчеты значений сезонной компоненты. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю. Тем не менее, по данной модели имеем . Рассчитаем корректирующий коэффициент и найдем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом.

 

Квартал	Год	Сезонная компонента S	Итого за квартал по годам	Средняя сезонная компонента за квартал	Корректирующий коэффициент	Скорректированная сезонная компонента
I		–	-2, 9	-0, 967	(-0, 967+0, 65+1, 233-, 867)/4=0, 01225	-0, 97925
	-0, 4
	-0, 8
	-1, 7
II		–	1, 95	0, 65	0, 63775
	0, 4
	0, 4
	1, 15
III		1, 45	3, 7	1, 233	1, 22075
	0, 75
	1, 5
	–
IV		-1, 45	-2, 6	-0, 867	-0, 87925
	-1, 2
	0, 05
	–
Итого				0, 049

 

3) Устраним сезонную компоненту из временного ряда, вычислим тренд и случайную составляющую

 

 

t	y	S	y-S	T	T+S	E=y-(T+S)	E2	(y-yср)2
	17, 8	-0, 9793	18, 77925	18, 2037	17, 22445	0, 57555	0, 331258	22, 09
	20, 2	0, 63775	19, 56225	18, 7824	19, 42015	0, 77985	0, 608166	5, 29
	21, 1	1, 22075	19, 87925	19, 3611	20, 58185	0, 51815	0, 268479	1, 96
	18, 5	-0, 8793	19, 37925	19, 9398	19, 06055	-0, 5605	0, 314216
	19, 7	-0, 9793	20, 67925	20, 5185	19, 53925	0, 16075	0, 025841	7, 84
	20, 8	0, 63775	20, 16225	21, 0972	21, 73495	-0, 9349	0, 874132	2, 89
	21, 6	1, 22075	20, 37925	21, 6759	22, 89665	-1, 2966	1, 681301	0, 81
	20, 3	-0, 8793	21, 17925	22, 2546	21, 37535	-1, 0753	1, 156378	4, 84
	21, 7	-0, 9793	22, 67925	22, 8333	21, 85405	-0, 1540	0, 023731	0, 64
	24, 1	0, 63775	23, 46225	23, 412	24, 04975	0, 05025	0, 002525	2, 56
	26, 1	1, 22075	24, 87925	23, 9907	25, 21145	0, 88855	0, 789521	12, 96
	25, 3	-0, 8793	26, 17925	24, 5694	23, 69015	1, 60985	2, 591617	7, 84
		-0, 9793	24, 97925	25, 1481	24, 16885	-0, 1688	0, 02851	2, 25
		0, 63775	26, 36225	25, 7268	26, 36455	0, 63545	0, 403797	20, 25
	26, 7	1, 22075	25, 47925	26, 3055	27, 52625	-0, 8262	0, 682689	17, 64
	25, 8	-0, 8793	26, 67925	26, 8842	26, 00495	-0, 2049	0, 042005	10, 89
Итого	360, 7		360, 7	360, 7032	360, 7032	-0, 0032	9, 824166	136, 75

 

Уравнение тренда выясняется в Excel функцией Линейн (для линейного тренда) или, что более удобно:

Вставка/Диаграмма/График/Добавить линию тренда/Отобразить уравнение тренда на экран. Результат может выглядеть следующим образом

 

 

 

Таким образом, имеем линейный тренд

,

где .

3) По аналогии с моделью регрессии для оценки качества построения модели, а также для выбора наилучшей модели используют сумму квадратов абсолютных ошибок . Для данной модели она равна 9, 82. Средний уровень ряда равен 360, 7/16=22, 5. Отношение суммы квадратов случайной компоненты к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего значения:

.

Вывод: построенная аддитивная модель объясняет 92, 8% общей вариации экспорта нефтепродуктов за 16 кварталов исследуемых четырех лет и ее можно использовать в прогнозах.

Вычислим прогнозное значение объема экспорта во втором квартале 2006 года. Имеем , , . Тогда

.

 

Задания по вариантам

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4

 

Вариант 5	Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8

 

 

Вариант 9	Вариант 10
			13, 43
			14, 99