Задание 3. Пример 1. Вероятность попадания в цель для каждого из трех орудий равна соответственно 0,5; 0,8; 0,6

Пример 1. Вероятность попадания в цель для каждого из трех орудий равна соответственно 0, 5; 0, 8; 0, 6. Найти вероятность того, что при залпе из трех орудий

а) все орудия попадут в цель;

б) не попадет в цель ни одно орудие;

в) попадет в цель только одно орудие;

г) попадет в цель хотя бы одно орудие;

д) попадут в цель только два орудия.

Решение.

Обозначим через событие «i -е орудие при одном выстреле попадает в цель», i = 1, 2, 3. Тогда вероятности этих событий по условию равны:

, , .

а) Событие : «все орудия попадут в цель». Три попадания будут тогда и только тогда, когда попадание наступит при каждом выстреле, т.е. . Тогда по теореме умножения

.

б) Событие : «ни одно орудие не попадет в цель». Три промаха будут тогда и только тогда, когда промах явится результатом каждого выстрела, т.е. события осуществляются все вместе: . Тогда по теореме умножения

.

Учитывая, что

,

,

,

получаем

.

в) Событие : «попадет в цель только одно орудие». При трех выстрелах возможны следующие варианты: первое орудие попадет, второе и третье не попадут; второе попадет, первое и третье не попадут; третье орудие попадет, первое и второе не попадут. Тогда . Поскольку события несовместны, то по теореме сложения

г) Событие : «попадет в цель хотя бы одно орудие». Это означает, что в цель могут попасть одно, или два, или три орудия, что является противоположным событию «ни одно орудие не попадет в цель», которое рассматривалось в п. б) данной задачи и обозначалось . Следовательно, , и

.

д) Событие : «попадут в цель только два орудия». При трех выстрелах возможны следующие варианты: первое и второе орудие попадут, третье не попадет; первое и третье попадут, второе не попадет; второе и третье попадут, первое не попадет. Тогда . Поскольку события несовместны, то по теореме сложения