Уравнение парной линейной регрессии

Пусть функционирование экономического объекта описывается двумя числовыми переменными: входной переменной X и выходной переменной Y. Возможно, что X может изменяться (регулироваться) исследователем, а значе­ние Y получается как результат функционирования объекта.

Предполагается, что Y зависит от X практически линейно:

Y = mX + b +e, (1)

где m и b – детерминированные величины, e – случайная величина.

Выходная переменная Y называется зависимой переменной (или объяс­няемой переменной, или откликом). Входная переменная X называется незави­симой переменной (или объясняющей пере­менной, или фактором, или регрес­сором). Случайную величину e в экономет­рике называют возмущением.

Если математическое ожидание возмущения равно нулю, то функция

f (x)= mx + b

является условным математическим ожиданием Y при заданном значении X=x: f (x)≡ M_xY. В этом случае соотношение (1) называется регрессионным уравне­нием. Чтобы подчеркнуть, что переменных всего две, а связь между ними ли­нейная, говорят, что (1) – уравнение парной линейной регрессии. Функция f (x) называется регрессией (линейной) Y по X (или функцией регрессии), а величины m и b – параметрами линейной регрессии (m – коэффициентом, b – сдвигом).

Пусть имеется n наблюдений величин X и Y: (x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (x_n, y_n). Из соотношения (1) получаем: y_i = mx_i + b +ε _i, где ε _i – возмущение в i -ом наблюдении, i =1, …, n.

Требуется по наблюдениям найти в некотором смысле наилучшие оцен­ки и значений m и b. Если и получены, то оценку отклика по извест­ному значению фактора x можно определить по формуле:

. (2)

Формулу (2) можно использовать для прогноза значения отклика по инте­ресующему исследователя значению фактора.