Раскрытие неопределенностей или

Вычислить следующие пределы, применяя правило Лопиталя.

 

Пример 1.

 

Решение.

Здесь Þ

Þ

Поэтому данный предел содержит неопределенность .

Так как функции f(x) и дифференцируемы в окрестности точки х = –1, то попробуем вычислить предел отношения их производных:

= = = .

Получилось, что предел отношения производных существует и равен числу . На основании правила Лопиталя заключаем, что предел отношения функций также существует и равен числу .

Ответ: .

 

Пример 2.

.

 

Решение.

V V V

 

Пояснение к символу “V”:

после того, как обнаружена неопределенность в пределе отношения производных, пробуем вычислить предел отношения вторых производных и эту попытку обозначаем символом “T”. В результате получилась такая цепочка записей:

 

.

 

В конце концов предел отношения третьих производных вычислился и равен числу . Теперь в соответствии с правилом Лопиталя заключаем, что все пределы отношений предыдущих производных и самих функций существует и равен . Поэтому получается обратная цепочка записей

 

Таким образом, правило Лопиталя применено три раза, в результат получено значение искомого предела и этот факт отражается в записях с использованием символа “V”.

При этом важно понимать, что если бы получилось так, что предел отношения оказался несуществующим, то это бы не означало, что не существуют и предыдущие пределы (то есть переходы “” в этом случае делать нельзя). Это только лишь означало бы, что данный предел не может быть вычислен по правилу Лопиталя.

 

Ответ: .

 

Пример 3.

.

 

Решение.

= = V .

Ответ: 2.

 

 

Пример 4.

.

 

Решение.

V = = V V = V

 

Здесь работа по правилу Лопиталя значительно упростилась применением теоремы о пределе произведения, с помощью которой была отделена функция , не участвующая в создании неопределенности.

Ответ: .

 

 

Пример 5.

.

 

Решение.

V V V V V

Ответ:

 

 

Пример 6.

.

 

Решение.

V

– не существует.

 

Это значит, что не выполняется одно из условий правила Лопиталя – условие существования предела отношения производных двух функций. Поэтому предел отношения этих двух функций не может быть вычислен по правилу Лопиталя, хотя может существовать и быть вычислен иными приемами.

Действительно,

Таким образом, работая с пределом по правилу Лопиталя, нельзя быть уверенным в его успешном вычислении до тех пор, пока не получится значение (конечное или бесконечное) предела отношения производных некоторого порядка. Только в этом случае становятся справедливыми все равенства в цепочке

¼