Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Возрастание и убывание функции





 

Функция называется монотонно возрастающей в интервале хÎ (а, b), если для любых двух точек х1 и х2 этого интервала из неравенства х2 > х1 следует неравенство > , то есть если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее значение функции.

 

Функция называется монотонно убывающей на интервале хÎ (а, b), если для любых двух точек х1 и х2 этого интервала из неравенства х2 > х1 следует неравенство < , то есть если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствует меньшее значение функции.

 

В области существования функции f(x) можно указать (в простейших случаях) конечное число интервалов возрастания и интервалов убывания функции, то есть интервалов монотонности функции.

 

Достаточный признак монотонности дифференцируемой функции:

если на интервале хÎ (а, b) производная сохраняет знак, то функция сохраняет монотонность на этом интервале, а именно:

если , то монотонно возрастает;

если , то монотонно убывает.

 

 

Пример 1.

 

Определить интервалы возрастания и убывания функции

 

Решение.

Область определения данной функции: хÎ (0; +¥).

Интервалы возрастания найдем из достаточного признака возрастания: > 0.

Так как где > 0, то решаем систему неравенств:

По достаточному признаку монотонности заключаем, что – это интервал возрастания данной функции (обозначается “­”).

 

Интервалы убывания находим аналогично из достаточного признака убывания: < 0, то есть, решая систему неравенств:

.

По достаточному признаку монотонности заключаем, что – это интервал убывания данной функции (обозначается “¯ ”).

Ответ: функция Š при , ‰ при .

 

 

Пример 2.

Определить интервалы монотонности функции

 

Решение.

Область определения функции: хÎ (-¥; +¥).

Находим производную здесь во всех точках, кроме , где .

Следовательно, согласно достаточному признаку монотонности, данная функция возрастает при всех х ¹ 0.

Далее очевидно, что для любого х1 > 0 будет , а для любого х2 < 0 будет . Поэтому, согласно определению, функция возрастает в любом интервале, включающем точку х = 0.

 

Ответ: при хÎ (-¥; +¥) функция монотонно возрастает.

 

 

Пример 3.

Исследовать на возрастание и убывание функцию

Решение.

Здесь хÎ (-¥; +¥).

Решив уравнение х4 – х2 = 0, найдем точки х1 = , х2 = 0, х3 = 1, в которых производная .

Так как может изменять знак только при переходе через точки, в которых она обращается в нуль или терпит разрыв для непрерывности (в данном случае точки разрыва для отсутствуют), то в каждом из интервалов (–¥; –1), (–1; 0), (0; 1), (1; +¥) производная сохраняет знак, поэтому в каждом из этих интервалов исследуемая функция монотонна. Чтобы выяснить, в каких из указанных интервалов функция возрастает, а в каких убывает, нужно определить знак производной в каждом из этих интервалов. Для этого достаточно просчитать знак в какой-нибудь одной точке каждого интервала и результаты оформить в виде следующей схемы:

 

 
 

Ответ: функция возрастает в интервалах (–¥; –1) и (1; +¥), убывает в интервале хÎ (–1; 1).

 

Задачи для самостоятельного решения.

Найти интервалы монотонности следующих функций:

1. ; 4.
2. 5. ;
3. ; 6.

 

Ответы.

1. При (–1; 1) и (1; +¥) возрастает.

2. При – возрастает; при и (1; +¥) – убывает.

3. При (0; 2) – возрастает; при и (2; +¥) – убывает.

4. При – возрастает; при – убывает.

5. При [0; +¥) – возрастает.

6. При – возрастает; и – убывает, где = 0, ±1, ±2, ¼








Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 925. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...


Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Кишечный шов (Ламбера, Альберта, Шмидена, Матешука) Кишечный шов– это способ соединения кишечной стенки. В основе кишечного шва лежит принцип футлярного строения кишечной стенки...

Принципы резекции желудка по типу Бильрот 1, Бильрот 2; операция Гофмейстера-Финстерера. Гастрэктомия Резекция желудка – удаление части желудка: а) дистальная – удаляют 2/3 желудка б) проксимальная – удаляют 95% желудка. Показания...

Ваготомия. Дренирующие операции Ваготомия – денервация зон желудка, секретирующих соляную кислоту, путем пересечения блуждающих нервов или их ветвей...

Способы тактических действий при проведении специальных операций Специальные операции проводятся с применением следующих основных тактических способов действий: охрана...

Искусство подбора персонала. Как оценить человека за час Искусство подбора персонала. Как оценить человека за час...

Этапы творческого процесса в изобразительной деятельности По мнению многих авторов, возникновение творческого начала в детской художественной практике носит такой же поэтапный характер, как и процесс творчества у мастеров искусства...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия