Возрастание и убывание функции

 

Функция называется монотонно возрастающей в интервале хÎ (а, b), если для любых двух точек х₁ и х₂ этого интервала из неравенства х₂ > х₁ следует неравенство > , то есть если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее значение функции.

 

Функция называется монотонно убывающей на интервале хÎ (а, b), если для любых двух точек х₁ и х₂ этого интервала из неравенства х₂ > х₁ следует неравенство < , то есть если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствует меньшее значение функции.

 

В области существования функции f(x) можно указать (в простейших случаях) конечное число интервалов возрастания и интервалов убывания функции, то есть интервалов монотонности функции.

 

Достаточный признак монотонности дифференцируемой функции:

если на интервале хÎ (а, b) производная сохраняет знак, то функция сохраняет монотонность на этом интервале, а именно:

если , то монотонно возрастает;

если , то монотонно убывает.

 

 

Пример 1.

 

Определить интервалы возрастания и убывания функции

 

Решение.

Область определения данной функции: хÎ (0; +¥).

Интервалы возрастания найдем из достаточного признака возрастания: > 0.

Так как где > 0, то решаем систему неравенств:

По достаточному признаку монотонности заключаем, что – это интервал возрастания данной функции (обозначается “­”).

 

Интервалы убывания находим аналогично из достаточного признака убывания: < 0, то есть, решая систему неравенств:

.

По достаточному признаку монотонности заключаем, что – это интервал убывания данной функции (обозначается “¯ ”).

Ответ: функция Š при , ‰ при .

 

 

Пример 2.

Определить интервалы монотонности функции

 

Решение.

Область определения функции: хÎ (-¥; +¥).

Находим производную здесь во всех точках, кроме , где .

Следовательно, согласно достаточному признаку монотонности, данная функция возрастает при всех х ¹ 0.

Далее очевидно, что для любого х₁ > 0 будет , а для любого х₂ < 0 будет . Поэтому, согласно определению, функция возрастает в любом интервале, включающем точку х = 0.

 

Ответ: при хÎ (-¥; +¥) функция монотонно возрастает.

 

 

Пример 3.

Исследовать на возрастание и убывание функцию

Решение.

Здесь хÎ (-¥; +¥).

Решив уравнение х⁴ – х² = 0, найдем точки х₁ = , х₂ = 0, х₃ = 1, в которых производная .

Так как может изменять знак только при переходе через точки, в которых она обращается в нуль или терпит разрыв для непрерывности (в данном случае точки разрыва для отсутствуют), то в каждом из интервалов (–¥; –1), (–1; 0), (0; 1), (1; +¥) производная сохраняет знак, поэтому в каждом из этих интервалов исследуемая функция монотонна. Чтобы выяснить, в каких из указанных интервалов функция возрастает, а в каких убывает, нужно определить знак производной в каждом из этих интервалов. Для этого достаточно просчитать знак в какой-нибудь одной точке каждого интервала и результаты оформить в виде следующей схемы:

 

Ответ: функция возрастает в интервалах (–¥; –1) и (1; +¥), убывает в интервале хÎ (–1; 1).

 

Задачи для самостоятельного решения.

Найти интервалы монотонности следующих функций:

1. ;	4.
2.	5. ;
3. ;	6.

 

Ответы.

1. При (–1; 1) и (1; +¥) возрастает.

2. При – возрастает; при и (1; +¥) – убывает.

3. При (0; 2) – возрастает; при и (2; +¥) – убывает.

4. При – возрастает; при – убывает.

5. При [0; +¥) – возрастает.

6. При – возрастает; и – убывает, где = 0, ±1, ±2, ¼