Возрастание и убывание функции
Функция называется монотонно возрастающей в интервале хÎ (а, b), если для любых двух точек х1 и х2 этого интервала из неравенства х2 > х1 следует неравенство > , то есть если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее значение функции.
Функция называется монотонно убывающей на интервале хÎ (а, b), если для любых двух точек х1 и х2 этого интервала из неравенства х2 > х1 следует неравенство < , то есть если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствует меньшее значение функции.
В области существования функции f(x) можно указать (в простейших случаях) конечное число интервалов возрастания и интервалов убывания функции, то есть интервалов монотонности функции.
Достаточный признак монотонности дифференцируемой функции: если на интервале хÎ (а, b) производная сохраняет знак, то функция сохраняет монотонность на этом интервале, а именно: если , то монотонно возрастает; если , то монотонно убывает.
Пример 1.
Определить интервалы возрастания и убывания функции
Решение. Область определения данной функции: хÎ (0; +¥). Интервалы возрастания найдем из достаточного признака возрастания: > 0. Так как где > 0, то решаем систему неравенств:
По достаточному признаку монотонности заключаем, что – это интервал возрастания данной функции (обозначается “”).
Интервалы убывания находим аналогично из достаточного признака убывания: < 0, то есть, решая систему неравенств: . По достаточному признаку монотонности заключаем, что – это интервал убывания данной функции (обозначается “¯ ”). Ответ: функция при , при .
Пример 2. Определить интервалы монотонности функции
Решение. Область определения функции: хÎ (-¥; +¥). Находим производную здесь во всех точках, кроме , где . Следовательно, согласно достаточному признаку монотонности, данная функция возрастает при всех х ¹ 0. Далее очевидно, что для любого х1 > 0 будет , а для любого х2 < 0 будет . Поэтому, согласно определению, функция возрастает в любом интервале, включающем точку х = 0.
Ответ: при хÎ (-¥; +¥) функция монотонно возрастает.
Пример 3. Исследовать на возрастание и убывание функцию Решение. Здесь хÎ (-¥; +¥). Решив уравнение х4 – х2 = 0, найдем точки х1 = , х2 = 0, х3 = 1, в которых производная . Так как может изменять знак только при переходе через точки, в которых она обращается в нуль или терпит разрыв для непрерывности (в данном случае точки разрыва для отсутствуют), то в каждом из интервалов (–¥; –1), (–1; 0), (0; 1), (1; +¥) производная сохраняет знак, поэтому в каждом из этих интервалов исследуемая функция монотонна. Чтобы выяснить, в каких из указанных интервалов функция возрастает, а в каких убывает, нужно определить знак производной в каждом из этих интервалов. Для этого достаточно просчитать знак в какой-нибудь одной точке каждого интервала и результаты оформить в виде следующей схемы:
Ответ: функция возрастает в интервалах (–¥; –1) и (1; +¥), убывает в интервале хÎ (–1; 1).
Задачи для самостоятельного решения. Найти интервалы монотонности следующих функций:
Ответы. 1. При (–1; 1) и (1; +¥) возрастает. 2. При – возрастает; при и (1; +¥) – убывает. 3. При (0; 2) – возрастает; при и (2; +¥) – убывает. 4. При – возрастает; при – убывает. 5. При [0; +¥) – возрастает. 6. При – возрастает; и – убывает, где = 0, ±1, ±2, ¼
|