Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

График дифференцируемой функции называется выпуклым (или выпуклым вверх) на интервале xÎ (a; b), если он расположен ниже любой касательной, проведенной к графику на этом интервале.

График функции называется вогнутым (или выпуклым вниз) на интервале xÎ (a; b), если он расположен выше любой касательной, проведенной к графику на этом интервале.

Точка графика непрерывной функции , отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

В простейших случаях область определения функции можно разбить на конечное число интервалов с постоянным направлением выпуклости.

При xÎ (a; х₀) график выпуклый, при xÎ (х₀; b) вогнутый, М₀(х₀; y₀) – точка перегиба.

 

 

Достаточное условие выпуклости, вогнутости.

 

Если функция является дважды дифференцируемой и ее сохраняет знак при всех xÎ (a; b), то график функции имеет постоянное направление выпуклости на этом интервале:

при < 0 – выпуклость вверх,

при > 0 – вогнутость (выпуклость вниз).

 

Необходимое условие для точки перегиба.

Если x₀ – абсцисса точки перегиба графика функции , то или не существует.

Необходимое условие не является достаточным. Точки, принадлежащие графику функции , в которых или не существует, называются подозрительными на перегиб.

 

 

Достаточное условие для точек перегиба.

Если вторая производная при переходе через точку х₀, подозрительную на перегиб, изменяет знак, то точка графика с абсциссой х₀ является точкой перегиба. Если не изменяет знак при переходе через точку х₀, то перегиба нет.

 

В следующих примерах требуется определить точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графиков функций.

 

 

Пример 1.

.

 

Решение.

Область определения функции .

Находим ;

.

при х₁ = 0, х₂ = 1, х₃ = 3 – это точки, подозрительные на перегиб.

 

Проверяем достаточное условие выпуклости, вогнутости, точек перегиба:

 

При х = 1 и х = 3 есть перегибы, при х = 0 перегиба нет.

Вычисляем ординаты точек перегиба:

; .

Ответ: точки перегиба М₁(1; 5, 5) и М₂(3; –112, 5),

график вогнутый при xÎ (–¥; 1) и xÎ (3; +¥), график выпуклый xÎ (1; 3).

 

 

Пример 2.

.

Решение.

Область определения функции: xÎ (–¥; +¥).

Находим , .

не существует при х=0, но изменяет знак с ² +² на ² –² при переходе через х=0. Поэтому точка графика (0; 0) является точкой перегиба, при xÎ (–¥; 0) график вогнут, при xÎ (0; +¥) – выпуклый.

 

 

Дополнительные упражнения.

 

Определить интервалы выпуклости и вогнутости графиков следующих функций. Найти точки перегибов.

1. y=3x4–8x3+6x2+12;

2. y=x3–12x2+x–1;

3. y=ln(1+x2);

4. y= ;

5. .

 

Ответы.

 

1. Точки перегиба и ;
при и график выпуклый,
при график вогнутый.

 

2. Точка перегиба ;
при график выпуклый,
при график вогнутый.

 

3. Точка перегиба и ;
при и график выпуклый,
при график вогнут.

 

4. Точка перегиба и ;
при и график вогнут,
при график выпуклый.

 

5. Точка перегиба ;
при график выпуклый,
при график вогнут.