Задача 4. Используя метод исключения переменных и геометрические построения, найти решение задачи Линейного Программирования:

Используя метод исключения переменных и геометрические построения, найти решение задачи Линейного Программирования:

 

 

Решение

 

1.5 Из третьего ограничения можно выразить :

 

.

C учетом условия имеем:

 

Замечание: В данном случае из третьего ограничения можно выразить любую из переменных , или .

 

 

1.6 Подставим выражение для в первое ограничение :

1.7 Подставим выражение для во второе ограничение :

1.8 Подставим выражение для в целевую функцию :

Свободным членом на данном этапе можно пренебречь, тогда перейдем к целевой функции вида:

1.9 Таким образом, после применения метода исключения переменных от исходной задачи перейдем к задаче вида:

Данная задача может быть решена на плоскости графическим методом решения задач линейного программирования.

 

1.10 Необходимо на плоскости построить прямые, соответствующие заданным неравенствам.

Прямая, соответствующая неравенству проходит через точки

и

Прямая, соответствующая неравенству проходит через точки

и

Прямая, соответствующая неравенству проходит через точки

и

 

1.11 Строим на плоскости прямые, соответствующие данным прямым.

1.12 Определяем ОДЗ (Область допустимых значений) данной системы неравенств. ОДЗ- это многогранник, ограниченный заданной системой неравенств, каждая точка которого удовлетворяет всем неравенствам (условиям).

На данном графике также обозначены области, удовлетворяющие условиям .

Таким образом, ОДЗ, удовлетворяющая всем условиям следующая:

1.13 Строим вектор целевой функции . Для этого необходимо построить линию уровня целевой функции, где , а затем определить в какую сторону целевая функция возрастает.

Линия уровня целевой функции проходит через точки и .

 

Чтобы определить градиент возрастания целевой функции можно взять две точки выше и ниже линии уровня целевой функции , подставить данные значения в уравнение целевой функции и посмотреть, в какой точке значение больше нуля.

В нашем случае можно взять две точки: и :

Таким образом целевая функция возрастает вверх (см. рисунок), а вниз соответственно убывает.

1.14 Мысленно передвигая параллельно линию уровня целевой функции вверх, нужно определить крайнюю точку ОДЗ, которую пересекают линии уровня целевой функции.

 

Для данной ОДЗ крайней точкой, в которой заданная целевая функция достигает максимума, является точка D. Из графика следует, что координаты точки D .

Подставив координаты точки D в выражение для нахождения , получаем:

Далее определяем максимум исходной целевой функции в точке D:

 

Ответ: