Задача 5. Используя метод исключения переменных и геометрические построения, найти решение задачи Линейного Программирования:

Используя метод исключения переменных и геометрические построения, найти решение задачи Линейного Программирования:

 

 

Решение

 

1.1 Из третьего ограничения можно выразить :

 

.

C учетом условия имеем:

 

Замечание: из третьего ограничения типа равенства можно также выразить любую из переменных или . Это не влияет на конечный результат - значение максимума и минимума целевой функции .

 

1.2 Подставим выражение для в первое ограничение :

1.3 Подставим выражение для во второе ограничение :

1.4 Подставим выражение для в целевую функцию :

Свободным членом на данном этапе можно пренебречь, тогда перейдем к целевой функции вида:

1.5 Таким образом, после применения метода исключения переменных от исходной задачи перейдем к задаче вида:

Данная задача может быть решена на плоскости графическим методом решения задач линейного программирования.

 

1.6 Необходимо на плоскости построить прямые, соответствующие заданным неравенствам.

Прямая, соответствующая неравенству , проходит через точки

и

Прямая, соответствующая неравенству проходит через точки

и

Прямая, соответствующая неравенству проходит через точки

и

 

1.7 Строим на плоскости прямые, соответствующие данным прямым.

1.8 Определяем ОДЗ (Область допустимых значений) данной системы неравенств. ОДЗ- это многогранник, ограниченный заданной системой неравенств, каждая точка которого удовлетворяет всем неравенствам (условиям).

На данном графике также обозначена область, удовлетворяющая условию .

Таким образом, ОДЗ, удовлетворяющая всем условиям следующая:

 

 

1.9 Строим вектор целевой функции . Для этого необходимо построить линию уровня целевой функции, где , а затем определить в какую сторону целевая функция возрастает.

Линия уровня целевой функции проходит через точки и .

 

Чтобы определить градиент возрастания целевой функции можно взять две точки выше и ниже линии уровня целевой функции , подставить данные значения в уравнение целевой функции и посмотреть, в какой точке значение больше нуля.

В нашем случае можно взять две точки: и :

Таким образом целевая функция возрастает вверх (см. рисунок), а вниз соответственно убывает.

1.10 Мысленно передвигая параллельно линию уровня целевой функции вверх, нужно определить крайнюю точку ОДЗ, которую пересекают линии уровня целевой функции.

 

Для данной ОДЗ целевая функция достигает максимума на отрезке BC, так как грань BC параллельна линиям уровня целевой функции .

 

Определим координаты точек B и С.

Точка В образована пересечением двух прямых

Решив данную систему уравнений, получаем координаты точки B .

Координаты точки С можно определить из графика: .

Значение максимума целевой функции будет одинаково на всем участке прямой BC. Определим его, например, в точке С, подставив координаты точки С в , получаем значение максимума целевой функции для заданной системы неравенств:

 

Таким образом, максимум целевой функции достигается на отрезке прямой , где , при этом

1.11 Исходя из графика, целевая функция достигает минимума в точке D.

 

Из графика следует, что координаты точки D .

Определяем минимум целевой функции в точке D:

 

 

Ответ:

Максимум целевой функции достигается на отрезке прямой , где , при этом

Минимум целевой функции