Задача 6. Используя метод исключения переменных и геометрические построения, найти решение задачи Линейного Программирования:

Используя метод исключения переменных и геометрические построения, найти решение задачи Линейного Программирования:

 

 

Решение

 

1.7 Из третьего ограничения можно выразить :

 

 

1.8 Подставим выражение для в первое ограничение :

1.9 Подставим выражение для во второе ограничение :

 

1.10 Таким образом, после применения метода исключения переменных от исходной задачи перейдем к задаче вида:

Данная задача может быть решена на плоскости графическим методом решения задач линейного программирования.

 

1.11 Необходимо на плоскости построить прямые, соответствующие заданным неравенствам.

Прямая, соответствующая неравенству , проходит через точку параллельно оси

Прямая, соответствующая неравенству проходит через точки

и

 

1.12 Строим на плоскости прямые, соответствующие данным прямым.

 

1.13 Определяем ОДЗ (Область допустимых значений) данной системы неравенств. ОДЗ- это многогранник, ограниченный заданной системой неравенств, каждая точка которого удовлетворяет всем неравенствам (условиям).

Таким образом, ОДЗ, удовлетворяющая всем условиям следующая:

 

 

1.14 Строим вектор целевой функции . Для этого необходимо построить линию уровня целевой функции, где , а затем определить в какую сторону целевая функция возрастает.

Линия уровня целевой функции проходит через точки и .

 

Чтобы определить градиент возрастания целевой функции можно взять две точки выше и ниже линии уровня целевой функции , подставить данные значения в уравнение целевой функции и посмотреть, в какой точке значение больше нуля.

В нашем случае можно взять две точки: и :

Таким образом, целевая функция возрастает вниз (см. рисунок), а вверх соответственно убывает.

 

1.15 Мысленно передвигая параллельно линию уровня целевой функции вверх, нужно определить крайнюю точку ОДЗ, которую пересекают линии уровня целевой функции.

 

Для данной ОДЗ целевая функция достигает минимума в точке С, а максимума в точке A.

Определим координаты точек A и С.

 

Координаты точки A можно определить из графика: . Тогда, подставив координаты точки А в , получаем значение максимума целевой функции для заданной системы неравенств:

 

Точка С образована пересечением двух прямых

Решив данную систему уравнений, получаем координаты точки С . Подставив координаты точки С в , получаем значение максимума целевой функции для заданной системы неравенств:

 

Ответ: ,