Определение.

В антагонистической матричной игре, заданной матрицей выигрыша первого игрока А, стратегия B_k доминирует стратегию B_l, если для справедливо:

Для стратегий A₃ и А₂ проверим, выполнено ли условие доминирования для всех выигрышей стратегий A₃ и А₂:

· k=3, l=2

· . Условие выполнено

· . Условие выполнено

· . Условие выполнено

· . Условие выполнено

Следовательно, условие доминирования выполнено и стратегия A₃ доминирует стратегию А₂. Стратегию А₂ можно вычеркнуть (исключить) из рассмотрения.

b. Таким образом, перейдем к следующей матрице:

	B1	B2	B3	B4
A1
А3
А4

Стратегия A₄ доминирует стратегию А_3.

Для стратегий A₄ и А₃ проверим, выполнено ли условие доминирования для всех выигрышей стратегий A₄ и А₃:

· k=4, l=3

· . Условие выполнено

· . Условие выполнено

· . Условие выполнено

· . Условие выполнено

Следовательно, условие доминирования выполнено и стратегия A₄ доминирует стратегию А₃. Стратегию А₃ можно вычеркнуть (исключить) из рассмотрения.

c. Таким образом, перейдем к следующей матрице:

	B1	B2	B3	B4
A1
А4

Очевидно, что у игрока А больше нет доминирующих стратегий.

Поэтому рассмотрим, есть ли у игрока B доминирующий стратегии.

Стратегия B₂ доминирует стратегию B₄, так как обеспечивает второму игроку меньший проигрыш при использовании этой стратегии, в отличие от стратегии B₄, не зависимо от того, какую стратегию использует первый игрок (игрок А).

 

Замечание: При рассмотрении антагонистических игр необходимо помнить, что матрица выигрышей первого игрока А, одновременно является матрицей проигрыша второго игрока В. Поэтому доминирующей стратегией второго игрока является та стратегия, которая обеспечивает наименьший проигрыш, не зависимо от поведения первого игрока.

Для стратегий B₂ и B₄ проверим, выполнено ли условие доминирования для всех выигрышей стратегий B₂ и B₄:

· k=2, l=4

· . Условие выполнено

· . Условие выполнено

Следовательно, условие доминирования выполнено и стратегия B₂ доминирует стратегию B₄. Стратегию B₄ можно вычеркнуть (исключить) из рассмотрения.

d. Таким образом, перейдем к следующей матрице:

	B1	B2	B3
A1
А4

В данной матрице нет стратегий, которые бы доминировали у игрока A и игрока B, следовательно, дальше матрицу упростить нельзя. Найдем решение игры графоаналитическим способом.

 

4. Матрица имеет размерность 2 ^x 3 (или в общем случае 2 x n). В этом случае строим прямые, соответствующие стратегиям игрока 2.

 

 

5. Для поиска оптимальной смешанной стратегии первого игрока необходимо из графика определить, в какой точке достигается максимальный выигрыш среди всех минимальных.

Минимальному выигрышу соответствует ломанная a₁₃Ma₂₁.

 

 

6. Максимум на этой ломанной достигается в точке M, которая образована пересечением двух стратегий B₁ и B₃. Тогда можно перейти к рассмотрению матрицы 2 x 2:

	B1	B3
A1
А4

7. Находим оптимальную смешанную стратегию первого игрока, применив формулу (6):

Следовательно, оптимальная смешанная стратегия первого игрока X= . Стратегии А₂ и А₃ не входят в оптимальную смешанную стратегию, так как были исключены из рассмотрения, как доминируемые, поэтому частота (вероятность) их использования равна нулю.

8. Находим цену игры, применив формулу (7):

Проверка: цена игры должна удовлетворять следующему неравенству:

Это неравенство выполнено:

 

9. Находим оптимальную смешанную стратегию второго игрока, используя формулу (9):

Следовательно, оптимальная смешанная стратегия второго игрока Y= . Стратегии B₂ и B₄ не входят в оптимальную смешанную стратегию, так как были исключены из рассмотрения, как доминируемые, поэтому частота (вероятность) их использования равна нулю.

 

 

Ответ: Оптимальное решение находится в области смешанных стратегий. Оптимальная стратегия первого игрока X= , оптимальная стратегия второго игрока Y= , цена игры .