Система уравнений движения вязкого сжимаемого теплопроводного газа. Простейшие физические процессы

Система уравнений, описывающая движение газа или жидкости, основывается на законах сохранения (массы, импульса, энергии и т.д.).

1. Закон сохранения масс или уравнение неразрывности.

получаем закон сохранения масс в дифференциальной форме (см.[14]):

. (1)

2. Закон сохранения импульса. Уравнения движения

Из второго закона Ньютона ,

где поверхностные и объемные силы.

Пусть вектор определяет плотность поверхностных сил. Поверхностные силы, действующие на конечный объем, равны

.

Плотность массовых сил можно определить по формуле

Окончательно, в дифференциальном виде, в векторной форме записи уравнения движения получаются следующие (см.[14]):

. (2)

Здесь тензорное произведение векторов.

3. Уравнение энергии. Закон сохранения энергии

Закон сохранения энергии, заключенной в объеме V, может быть записан(см.[5]):

Слева написано изменение количества полной энергии, заключенной в объеме V. Первый член справа – полная энергия, непосредственно переносимая (в единицу времени) проходящей через поверхность S массовой жидкости. Второй член представляет работу, производимую силами давления над жидкостью, заключенной внутри поверхности S. Последующие слагаемые учитывают энергию, связанную с тепловым потоком, вектором внешних сил и мощностью тепловых источников.

Преобразуя уравнение, получим его дифференциальную форму:

. (3)

Здесь – массовая плотность полной энергии, – вектор плотности теплового потока, – мощность тепловых источников и F= f ρ – вектор внешних сил.

Вектор плотности теплового потока вычисляется по закону Фурье , где – коэффициент теплопроводности.

Система дифференциальных законов сохранения (1) – (3) неполная, необходимо присоединить замыкающие соотношения. Это уравнения состояния и потоковые соотношения. Потоковые соотношения выражают гидродинамические потоки импульса и энергии через градиенты вектора состояния течения.

Термодинамическое равновесие среды описывается пятью функциями: , две из которых независимые, для нахождения остальных используются следующие уравнения состояний

, , , (4)

, , , (5)

, , . (6)

В случае совершенного газа используется уравнение состояния Клапейрона–Менделеева: .

В предположении ньютоновской среды справедливо уравнение, связывающее тензор напряжений Р и тензор скоростей деформации Ф.

. (7)

Здесь – статистическое давление, – коэффициенты динамической и объемной вязкости, – единичный тензор и – тензор скоростей.

Заметим, что в любой системе координат будет выполняться равенство: .

Используя физическое представление системы уравнений (1) – (7) (системы уравнений Навье – Стокса), запишем ее в векторной дивергентной форме, удобной для математических преобразований (см.[6]):

, (8)

где (идет суммирование по повторяющемуся индексу).

Будем называть вектор вектором состояния течения, а вектора

; векторами гидродинамических потоков и

вектором правых частей, связанных с массовыми силами среды.

Выделим базисные физические процессы и проведем их анализ для уравнений (8). Переходя к полной индексной записи системы уравнений (8): заметим, что матрица гидродинамических потоков может быть представлена как сумма трех матриц: = w₁+w₂+w₃. Первая матрица обусловлена инерциальными или конвективными силами, вторая - силами, связанными с градиентами давления, и третья - диссипативными эффектами вязкости и теплопроводности.

Выделим три физических процесса для первого вектора гидродинамического потока (см.[6]):

 

 

,

здесь G={ } тензор внутренних напряжений; девиатор тензора напряжений .

В общем случае матрица w₁=

, матрица w₂ и

 

 

матрица

w₃ .

 

Рассмотрим первый физический процесс. Выпишем систему уравнений, в которой мы пренебрегаем силами, связанными с давлением и диссипативными эффектами:

.

Эта система описывает слабомолекулярное течение жидкости или газа и имеет гиперболический характер.

Исследуем первые четыре уравнения системы (уравнение неразрывности и три уравнения движения). Начнем с уравнений движения:

. (9)

Из первого уравнения системы (уравнения неразрывности) следует:

и после умножения на получаем

. (10)

Из уравнения (9) вычтем уравнение (10), тогда:

.

Таким образом, скорость каждого элемента сохраняется вдоль траектории.

Для второго физического процесса, если в исходной системе (8) пренебречь силами, связанными с инерцией и диссипацией, а рассмотреть только действие сил, связанных с давлением, получаем следующую систему:

,

Здесь - символы Кронекера.

Видно, что плотность не зависит от времени, поэтому ее можно вынести за знак производной во втором и третьем уравнениях. Учитывая суммирование по повторяющимся индексам, получаем систему:

В уравнениях движения выражаем производные по времени через производные по пространству, тогда

Подставляя частную производную в последнее уравнение системы, преобразуем его к виду

. Для дальнейшего преобразования используем уравнения движения. Умножаем равенства

на координаты , получаем и дальше суммируя в последней записи правые и левые части уравнений по индексу j, приходим к векторному равенству: . Окончательно уравнение энергии приводится к виду .

Теперь воспользуемся уравнением состояния и найдем частную производную

Подставляем последнее уравнение в предыдущее и получаем:

Из последнего уравнения выразим частные производные скорости по пространственным координатам через производную давления по времени:

.

Дифференциальным следствием этого уравнения будет уравнение

Опять используем уравнения движения: , которые подставляем в дифференциальное следствие, получаем

- . Рассмотрим последнее равенство. Так как и то полученное уравнение для давления является уравнением гиперболического типа. То есть в этом случае система также носит гиперболический характер.

Если пренебречь инерционными силами и давлением (третий физический процесс), то получим систему:

Здесь суммирование и по индексу β.

В этом случае, как и в двух предыдущих, считаем, что .

В отсутствии давления тензор вязких напряжений равен: Подставляя его в уравнения и преобразуя их, получаем:

Системa параболического типа.

Рассмотрены три простейшие базисные физические модели. Каждая из них выделяет простой физический процесс. Для получения более сложных моделей будем рассматривать комбинации простейших процессов.