Различные упрощенные модели полной системы уравнений Навье-
Стокса В этом разделе будут рассмотрены упрощенные модели системы уравнений Навье-Стокса в дальнейшем, используемые при построении дискретных аналогов. Это линеаризованная система уравнений Навье-Стокса, модель вязкой несжимаемой жидкости, система уравнений пограничного слоя, система уравнений вязкого ударного слоя и параболизованная система уравнений Навье-Стокса.Выбор моделей с одной стороны обусловлен их широкой применимостью при расчетах различных областей течения (см.рис.3), а с другой стороны позволяет значительно сэкономить вычислительные ресурсы. Линеаризованная система уравнений Навье-Стокса. В некоторых задачах механики сплошной среды исследуемые движения и процессы имеют характер малых возмущений некоторых состояний равновесия или основного движения. В аэродинамики, например, при изучении движения различных тонких тел в воздухе в направлении их основного размера, когда угол наклона скорости полета к элементам поверхности тел мал, движение вызывает в основной массе воздуха малые скорости возмущения. В тех случаях, когда допущение о малости искомых функций является приемлемым, в постановке задач можно провести линеаризацию. Пусть известен вектор состояния основного течения Здесь Рассмотрим первое уравнение системы (15): Заменим искомые функции через основное и возмущенное решения, тогда Так как Аналогично преобразовывается второе и третье уравнения системы (15) получаем:
Эта система может быть решена и аналитически. В случае баротропного течения когда, Здесь При невязком течении (т.е.
Модель вязкой несжимаемой жидкости Среда называется несжимаемой, если любой ее индивидуальный объем остается постоянным по величине во все время движения. Плотность в частице несжимаемой среды также остается постоянной. Уравнение неразрывности (1) сводится к следующему уравнению: Системы уравнений ламинарного пограничного слоя Один из методов получения упрощенных моделей из полной системы уравнений Навье – Стокса основан на гипотезе о том, что толщина пристеночной области, в которой вязкость и теплопроводность играют существенную роль, а также величина нормальной к направлению потока составляющей скорости в этой области имеют порядок Уравнения и основные понятия теории пограничного слоя были установлены в 1904 г. Л.Прандтлем. Для получения уравнений теории пограничного слоя рассмотрим задачу об обтекании несжимаемой вязкой жидкостью тонкой пластинки, поставленной по направлению набегающего потока. Рис.1 Пусть L – некоторый характерный размер, например длина пластинки. Обозначим через δ «толщину» пограничного слоя (см.рис.1). По основному допущению примем, что на расстоянии δ по нормали от поверхности пластинки имеется «граница» пограничного слоя. Величина δ или, точнее, отношение Заменяя переменные Теперь оценим слагаемые первого уравнения движения:
При исследовании пограничного слоя предполагают, что влияние вязких слагаемых сопоставимо с влиянием конвективных слагаемых и слагаемых, связанных с силами давления, то есть по порядку эти слагаемые должны быть одинаковы. Второй член правой части уравнения, по предположению, имеет одинаковый порядок со слагаемыми левой части уравнения, тогда:
Оценим слагаемые второго уравнения движения:
Окончательно получаем следующую систему пограничного слоя:
Уравнения (18) остаются нелинейными. Поперек пограничного слоя давление сохраняется постоянным и определяется значением на границе слоя в основном потоке, следовательно, в первом уравнении член Эта система была предложена Прандтлем и используется только для расчета течения в пограничном слое. Ее нельзя использовать для внешнего течения. Но если 2-е уравнение системы заменить на уравнение:
Система уравнений Прандтля, полученная ранее, представляет собой первое «приближение», точнее приближение, содержащее малый параметр в нулевой степени в асимптотическом разложении решений уравнений Навье-Стокса по малому параметру. При последующих приближениях, содержащих малый параметр в нулевой и первой степени (
Параболизированная система уравнений Навье-Стокса (ПУНС) ПУНС используется при численном исследовании сверхзвуковых течений (особенно стационарных задач) и получается из полной системы уравнений Навье – Стокса после исключения всех 2-х производных (повторных и смешанных), содержащих дифференцирование вдоль потока (см.[7]). ПУНС по точности занимает промежуточное место между уравнениями вязкого ударного слоя и обобщенными уравнениями Прандтля, так как содержит слагаемые старшего порядка малости, чем в уравнении пограничного слоя. В качестве примера рассмотрим также задачу обтекания плоской пластины, но уже однородным потоком вязкого сжимаемого теплопроводного газа. Рис.2
Выпишем полную стационарную систему уравнений Навье-Стокса, описывающую данное течение, которая в векторной записи равна:
Заменяя элементы тензора вязких напряжений:
Пораболизированная система уравнений Навье-Стокса получается при выбрасывании из уравнений всех повторных производных, содержащих хотя бы одно дифференцирование по
Иллюстрация применимости моделей Для иллюстрации применимости различных упрощенных уравнений рассмотрим задачу обтекания тела конечного размера сверхзвуковым потоком сжимаемого вязкого теплопроводного газа (см.[6]). Задача рассматривается при умеренных числах Маха (не больше 6), так как при М≈ 6 температура газа у поверхности тела может достигать нескольких тысяч градусов, а в такой ситуации для правильного описания течения необходимо рассматривать течение как многокомпонентную химически реагирующую смесь.
Рис.3 На рис. 3 обозначены следующие зоны течения: 1 – Головной скачок уплотнения. 2 – Область слабовязкого течения между ударной волной и пограничным слоем. 3 – Пограничный слой. 4 – Волны разрежения. 5 – Область возвратного течения. 6 – Кормовой скачок. 7 – Висящий пограничный слой. 8 – Хвостовой скачок. 9 – Горло следа. 10 – Ближний след. 11 – Дальний след. Для изучения течения в области 2 справедлива модель уравнений газовой динамики, в области 3 – система уравнений пограничного слоя, в областях 5 и 9
|