Для модельных уравнений

В качестве промежуточной разностной схемы, которая реализуется так же просто, как явная схема и при определенных физических ограничениях имеет безусловный запас устойчивости, рассмотрим схему бегущего счета(уголок) для уравнения (19): следующего вида: .

Шаблон, используемый в схеме, позволяет явно находить значения сеточной функции на верхнем временном слое по формуле: . Данная схема будет безусловно устойчивой, так как изначально она неявная. По арифметическим затратам она эквивалентна явной схеме. Недостаток схемы ограничение на параметр . Если это условие не выполняется, то расчет значительно усложняется.

Другим примером гибридных разностных схем являются схемы с весами. Для уравнения (20) схема с весами следующая:

(26).

При – схема явная и если – схема неявная. Порядок аппроксимации схемы: . Когда , то , то есть порядок аппроксимации схемы . При всех остальных значениях – схема первого порядка аппроксимации.

Исследуем условие устойчивости схемы (26). Подставляя вектор гармоники (23), получаем следующее характеристическое уравнение:

или, обозначая и , имеем: . После преобразования получаем:

.

С другой стороны, расписывая более подробно разностное уравнение (26) получаем

Преобразуем его к трехточечному виду для решения методом прогонки: .

В нашем случае прогоночные коэффициенты равны:

Вспомним достаточное условие корректности и устойчивости метода прогонки (условие диагонального преобладания): . Одно из неравенств должно быть строгим.

Получаем следующее неравенство:

.

Рассматривая только конвективные члены (), имеем:

Получили, что даже в неявной схеме выполняется условие условной устойчивости.

Замечание. Чтобы избежать этого ограничения, необходимо аппроксимировать не центральными разностями, а односторонними.

Разностная схема с весами для нелинейных уравнений

Схемы для нелинейных уравнений строятся аналогично, однако их реализация значительно усложняется.

Рассмотрим схему с весами для уравнения (22):

.

При нелинейной зависимости для решения уравнения необходимо применять итерационные методы.

Мы рассмотрим другой подход, основанный на линеаризации нелинейной системы. Заменим значение его разложением по формуле Тейлора до членов второго порядка малости:

Подставляя в исходную систему, получим схему, линейную относительно :

или эквивалентную ей схему в каноническом виде:

. Ее решение может быть получено скалярной прогонкой. При схема безусловно устойчива.