Явные разностные схемы для модельных уравнений

Для численного решения уравнения (19) используем следующее явное разностное уравнение , аппроксимирующее уравнение (19) с порядком . Проведем анализ устойчивости, отыскивая решение разностного уравнения в виде гармоники: (23). Здесь

, .Получим характеристическое уравнение . (24)

Для устойчивости разностного уравнения корни характеристического уравнения должны по модулю быть не больше единицы. Преобразуя уравнение (24) имеем:

. В результате получаем и схема является неустойчивой.

Для того, чтобы схема стала устойчивой, необходимо аппроксимировать оператор , учитывая знак числа и используя односторонние разности (схема против потока). Разностная схема

аппроксимирует уравнение (19) с порядком и условно устойчива. Характеристическое уравнение и

если . (25)

Условие (25) и есть условие устойчивости схемы, называемое условием Куранта-Фридрихса-Леви (CFL).

Повысить запас устойчивости первоначальной схемы можно и не уменьшая порядка точности. Для этого усредним первое слагаемое в правой части уравнения и рассмотрим следующую схему Лакса:

Схема условно устойчива, но с условной аппроксимацией.

Аналогично строятся разностные схемы и для уравнения (20) с вязким слагаемым. Разностная схема:

аппроксимирует (20) с порядком и условно устойчива при выполнении условия

.

Рассмотрим несколько явных разностных уравнений второго порядка аппроксимации по времени и по пространству. Это двухшаговые схемы Лакса-Вендрофа и Маккормака типа «предиктор-корректор».

Разностная схема Лакса-Вендрофа для уравнения (1) имеет следующий вид:

Здесь значения сеточной функции на дробном временном шаге.

Покажем, что схема второго порядка аппроксимации при выборе шага . Из первого уравнения выразим значения сеточной функции на дробном шаге и подставим во второе уравнение. Получим уравнение в целых шагах, эквивалентное исходному.

Преобразуя разностные операторы и заменяя , получаем следующую разностную схему ,

имеющую порядок аппроксимации .

Схема Лакса-Вендрофа условно устойчива. Условие устойчивости совпадает с условием устойчивости (25).

Модификации этой схемы, не требующие введения дробных шагов, предложены Маккормаком. Один из вариантов схемы Маккормака для нелинейного уравнения (21):

Порядок аппроксимации схемы Маккормака . Схема условно устойчива.

Замечания. После линеаризации схема Маккормака в целых шагах совпадает со схемой Лакса-Вендрофа, поэтому порядок аппроксимации у нее такой же, как и у схемы Лакса-Вендрофа.

Рассмотренные явные схемы имеют ограничения на временной шаг (условие CFL), что приводит к значительному увеличению расчетного времени. Для получения безусловно устойчивых схем необходимо использовать неявные аппроксимации исходных уравнений.