Разностные схемы, записанные в дивергентной форме

Для системы уравнений газовой динамики

Рассмотрим систему одномерных уравнений газовой динамики, записанных в декартовых координатах в дивергентной форме:

,

где .

Здесь плотность полной энергии и уравнение состояния:

Запишем схему с весами для системы уравнений газовой динамики:

. (30)

Схема является консервативной и аппроксимирует систему уравнений (30) с порядком .

При схема нелинейная относительно верхнего временного слоя и для ее безытерационной реализации линеаризуем вектор относительно вектора . Для этого разложим вектор по формуле Тейлора с точностью до членов второго порядка:

,

где матрица Якоби, а аппроксимация производной . Заменяя вектор в схеме (30) получаем канонический вид схемы:

. (31)

Уравнение (31) линейно относительно вектора и может быть решено векторной прогонкой. При симметричной аппроксимации, входящих в него разностных операторов, оно сводится к следующему трехточечному уравнению:

коэффициенты которого вычисляются по формулам:

Здесь используется однородность функции .

Рассмотрим случай идеального газа. В этом случае уравнение состояния , где и .

Найдем коэффициенты матрицы .

Обозначим ,

тогда =

и . Для коэффициентов матрицы В имеем:

, , ,

,

,

.

Задание. Найти самостоятельно коэффициенты , , .

В итоге получаем следующую матрицу :

.

Исследуем устойчивость схемы (31) для уравнений с замороженными коэффициентами (матрица В постоянная). При решении характеристического уравнения получаем следующие корни (в случае симметричной аппроксимации):

.

Здесь - квадрат скорости звука и . При схема безусловно устойчивая.

Параметрическая схема с весами для решения полной системы уравнений Навье-Стокса

Изменяется вектор гидродинамического потока. Появляются в системе уравнений производные второго порядка по пространственным переменным. Одномерная дивергентная система уравнений Навье – Стокса записывается в виде

, (32)

где

Для разностного решения системы (32) воспользуемся следующей схемой с весами:

. (33)

Здесь вектор потока , где . Схема нелинейная и для построения безытерационной схемы необходимо линеаризовать вектор . По формуле Тейлора для функции двух переменных получаем:

.

Изменяя порядок дифференцирования и используя матрицы Якоби, имеем:

. Здесь матрица .

Для построения канонического вида разностной схемы преобразуем третье слагаемое уравнения.

. Здесь матрица .

Замечание. Для аппроксимации производной используется разностный оператор

, где .

Заменяя в схеме (33) значение вектора потока и преобразуя уравнение, получаем следующий канонический вид линеаризованной схемы с весами для системы уравнений Навье – Стокса:

.

Полученная схема аппроксимирует систему уравнений (32) с тем же порядком, что и схема (30) и в линейном приближении безусловно устойчива.

Вид матриц можно упростить, если в качестве искомых переменных выбирать вектор состояния не в массовых переменных, а один из векторов с газодинамическими переменными, например . В этом случае легче ставятся граничные условия и уменьшается число арифметических операций при реализации схемы.