Применение нечетких множеств в ЭС рассмотрим на примере сортировщика изделий на поточной линии. Работа сортировщика сводится к оценке качества изделия на основе поступающей информации и определения угла поворота манипулятора для пересылки изделия в нужном направлении – на сборку, в брак или на доработку.
В качестве измеряемых входных параметров при определении качества изделия используются: 
- кривизна после резки и шлифования, 
- температура после обжига и охлаждения. 
Î[ 
, 
], 
= 
, где [ , ] означает диапазон возможных значений . Параметры , рассматриваются как нечеткие множества, формирующие лингвистические переменные, описываемые тройками 
={< 
, 
, 
>}, Î 
( 
), = , 
= 
, где ( ) – расширенное терм-множество (значение) лингвистической переменной “ПАРАМЕТР”, - нечеткое множество, описываемое функцией принадлежности 
, принимающей значения в интервале [0,1] для всех из универсумов = {0,1,…,10} (записывается как : ®[0,1]). Значения переменной “ПАРАМЕТР” приведены в табл. 10.3.
Таблица 10.3. Значения переменной "ПАРАМЕТР"
| Значения переменной “ПАРАМЕТР”
|  Î
|
| Несущественное
|
|
| Почти малое
|
|
| Малое
|
|
| Чуть больше, чем малое
|
|
| Почти среднее
|
|
| Среднее
|
|
| Чуть более, чем среднее
|
|
| Почти большое
|
|
| Большое
|
|
| Чуть более, чем большое
|
|
| Предельное
|
|
Так как - промышленный параметр, а - нормированное множество, то для отображения ® предлагается очевидная формула:
= 
[( 
( )-1) 
], (10.1)
где - входящий, - мощность, 
³1.
Ранее было
= 
( )/ . (10.2)
Для вычисления синглтонов 
( 
)/ предлагается экспертное выражение
( ) =1- 
ê -
- [( ( )-1) ], (10.3)
где
- значение
из таблицы 10.3. Пример:
=1;
,
такие, что для каждого по (10.1)
=0 (
=0 в табл.10.3 соответствует значение переменной ПАРАМЕТР
=несущественное). Тогда из (10.3), табл.10.3, (10.3) и (10.2) имеем:
=
=
несущественное = 1/0+0.9/1+0.8/2+0.7/3+
+0.6/4+0.5/5+0.4/6+0.3/7+0.2/8+0.1/9+0/10.
Выходной параметр также представлен в виде нечеткого множества качества изделия 
, формирующего лингвистическую переменную ”КАЧЕСТВО1”, описываемого тройками вида
={< 
, 
, 
>}, Î 
( 
), 
= ,
где ( ) – расширенное терм-множество лингвистической переменной ”КАЧЕСТВО1”; - нечеткое множество, описываемое функцией принадлежности вида 
: ®[0,1]; - универсум: = {0,1,…,10}. Значения лингвистической переменной ”КАЧЕСТВО1” даны в таблице 10.4.
Таблица 10.4. Значения параметра "КАЧЕСТВО1"
| Значение переменной ”КАЧЕСТВО1”
|  Î
|
| Предельно низкое
|
|
| Почти низкое
|
|
| Низкое
|
|
| Чуть лучше, чем низкое
|
|
| Почти среднее
|
|
| Среднее
|
|
| Чуть лучше, чем среднее
|
|
| Почти высокое
|
|
| Высокое
|
|
| Чуть лучше, чем высокое
|
|
| Наивысшее
|
|
Нечеткое множество определяется по известной формуле интегрирования
= 
( )/ . (10.4)
Для получения текущего значения качества изделия используем одно из правил нечеткого условного вывода, получаемого аналитическими методами преобразований нечетких множеств:
( 
( 
) 
( 
))=([ 
]´ 
´ )Ç(Ø[ ]´ ´Ø ).
На языке функций , 
имеем: ( ( ) ( )) = 
( )
( ))Ù[(1- ( )) (1- ( ))]]/( , ). Последнее дает в качестве функции принадлежности отношения ( ( ) ( )) выражение
1- ( ), если ( )< ( ),
( , ) = 1, если ( )= ( ), (10.5)
( ), если ( )> ( ).
Если с точки зрения технологии параметры , неравнозначны, например при определении качества изделий большее значение имеет кривизна, чем температура, то в последнем выражении вместо и функций принадлежности 
( ), 
( ), соответствующих результирующей функции (по виду ) 
( )= ( )Ù ( ), следуя принципу “выделения” и используя операцию “растяжения” ( 
) нечетких множеств, необходимо представить входное нечеткое множество как 
= Ç ( ) и, соответственно, ( )= ( )Ù[ ( )]0.5, где [ ( )]0.5 означает “более или менее ”. Пример: для = = =несущественное получаем ( )=1/0+0.95/1+0.89/2+0.84/3+0.77/4+ +0.7/5+0.63/6+0.55/7+0.45/8+0.32/9+0/10 и = 1/0+0.9/1+0.8/2+0.7/3+0.6/4+ +0.5/5+0.4/6+0.3/7+0.2/8+0.1/9+0/10.
Для уяснения связи , с используем экспертное правило: “Если несущественное и более или менее несущественное, то наивысшее иначе предельно низкое.” Из табл. 10.4 значению переменной наивысшее соответствует =10. Используем формулы для , ( ), аналогичные для , ( ) – (10.1), (10.3) при =1:
= [( ( )-1) 
], (10.6)
( )=1- 
ê - [( ( )-1) ]ê, (10.7)
где (10.6) при известной величине
дает
, определяющее лингвистическую переменную “КАЧЕСТВО1”, а (10.7) по всем табличным значениям
- функции принадлежности элементов нечеткого множества
, соответствующего найденному значению лингвистической переменной.
Зная =10, из (10.6) находим = 
, а из (10.7) по аналогии с имеем = наивысшее = 0/0+0.1/1+0.2/2+0.3/3+0.4/4+0.5/5+0.6/6+0.7/7+ +0.8/8+0.9/9+1/10. Полученные частные значения , позволяют строить матрицу нечетких бинарных отношений ( ( ) ( )) по (10.5), где = 
, ( )= ( ) – табл. 10.5.
Таблица 10.5. Матрици отношений ( ( ) ( ))
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0.1
| 0.2
| 0.3
| 0.4
| 0.5
| 0.6
| 0.7
| 0.8
| 0.9
|
|
|
|
| 0.1
| 0.2
| 0.3
| 0.4
| 0.5
| 0.6
| 0.7
| 0.8
|
|
|
|
|
| 0.1
| 0.2
| 0.3
| 0.4
| 0.5
| 0.6
| 0.7
|
| 0.1
|
|
|
|
| 0.1
| 0.2
| 0.3
| 0.4
| 0.5
| 0.6
|
| 0.2
| 0.1
|
|
|
|
| 0.1
| 0.2
| 0.3
| 0.4
| 0.5
|
| 0.3
| 0.2
| 0.1
|
|
|
|
| 0.1
| 0.2
| 0.3
| 0.4
|
| 0.4
| 0.3
| 0.2
| 0.1
|
|
|
|
| 0.1
| 0.2
| 0.3
|
| 0.5
| 0.4
| 0.3
| 0.2
| 0.1
|
|
|
|
| 0.1
| 0.2
|
| 0.6
| 0.5
| 0.4
| 0.3
| 0.2
| 0.1
|
|
|
|
| 0.1
|
| 0.7
| 0.6
| 0.5
| 0.4
| 0.3
| 0.2
| 0.1
|
|
|
|
|
| 0.8
| 0.7
| 0.6
| 0.5
| 0.4
| 0.3
| 0.2
| 0.1
|
|
|
|
| 0.9
| 0.8
| 0.7
| 0.6
| 0.5
| 0.4
| 0.3
| 0.2
| 0.1
|
|
Пример расчета:
00. = 
=0, = 
=0; из ранее определенных нечетких множеств и находим по их первым элементам ( )=1, ( 
)=0. Тогда из (10.5) получаем 
( , )= ( )=0;
10. = 
=1, = =0; для второго элемента из имеем ( ) =
= 0.9, для первого элемента из сохраняется ( ) =0; ( , ) = = ( ) =0;
…………………………………………………………………………………..
100. = 
=10, = =0; ( )=0, ( )=0; ( , )=1;
01. = =0, = 
=1; ( )=1, ( )=0.1;
( , )= ( )=0.1;
……………………………………………………………………………………
91. = 
=9, = =1; ( ) =0.1, ( ) = 0.1; ( , ) = = ( ) =1;
101. = =10, = =1; ( )=0, ( )=0.1; ( , ) =1-
- ( ) = 0.9 и т.д.
При любых текущих = 
, = 
по формулам (10.3), (10.2) находим текущие нечеткие множества 
, 
. Для нахождения = 
воспользуемся формулой “композиционного вывода”
= 
( ( ))= ( ( ))o ( ( ), ( ))=
= 
o ( ( ) ( ))= 
( ( )Ù ( , ))/ . (10.8)
В качестве входного параметра для определения угла поворота манипулятора-сортировщика вводим нечеткое множество 
, формирующее лингвистическую переменную ”КАЧЕСТВО2” в виде тройки
={< 
, 
, >}, Î ( 
), = 
.
Значения переменной ”КАЧЕСТВО2” показаны в табл. 10.6. Для
Таблица 10.6. Значения переменной "КАЧЕСТВО2"
| Значение переменной ”КАЧЕСТВО2”
|  Î
|
| Неустранимый дефект
|
|
| Возможна повторная обработка
|
|
| На следующую операцию
|
|
отображения ® зададим следующее. Пусть = 
È 
È 
. При этом Ç Ç =Æ, например, ={0,1,…,4}, = {5,6,7}, ={8,9,10}.
Отметим, что $ 
Î ½ ( )= 
( ) – “сильнейший” (с наибольшим значением ( )). Осуществим переход, связывающий множества , , с тремя положениями манипулятора-сортировщика:
0, если Î ,
= 1, если Î , (10.9)
2, если Î .
Нечеткое множество
= 
( )/ , (10.10)
где
( )=1- 
ô - ô, = . (10.11)
Угол поворота манипулятора-сортировщика выражается в виде нечеткого множества 
, которое формирует лингвистическую переменную “УГОЛ” в виде тройки
={< 
, 
, >}, Î ( 
), = .
Значения переменной “УГОЛ” приведены в табл.10.7. Переменная
Таблица 10.7. Значения переменной "УГОЛ"
| Значения переменной “УГОЛ”
|  Î
|
| Малый
|
|
| Средний
|
|
| Большой
|
|
находится обычным путем:
= 
( )/ . (10.12)
Зададим углы поворота манипулятора 
Î[900,2700], т. е. 
=900, 
=2700. В соотношении (10.12) функция принадлежности 
( 
) рассчитывается по формуле
( )=1- 
ê - [( ( )-
-1) 
] ê, = . (10.13)
По аналогии с (10.5) для построения нечеткого бинарного отношения, характеризующего логическую связь между качеством изделия и углом , воспользуемся экспертным заключением:
“Если неустранимый дефект, то малый, иначе большой ”.
Как и ранее, используя соответствующие формулы (10.10)-(10.13), табл.10.6 для = 0 и табл. 10.7 для = 0, находим: = неустранимый дефект =1/0+0.5/1+0/2, =малый =1/0+0.5/1+0/2.
Для получения нечеткого множества, соответствующего текущему углу поворота манипулятора как логического следствия, в качестве нечеткого бинарного отношения воспользуемся выражением
( ( 
) ( 
))=( ´ 
´ )Ç(Ø ´ ´Ø ),
где 
обозначает -логику. Или ( ( ) ( )) = 
( )
( ))Ù((1-( 
)) (1- ( ))]/( , ). По аналогии с (10.5)
1, если 
( )= ( ),
( , ) = (10.14) 0, если ( )¹ ( ).
Согласно этой формуле и (10.10), (10.12) строим матрицу отношений ( ( ) ( )) - табл. 10.8. На основе табл. 10.8 рассчитываем
Таблица 10.8. Матрица отношений ( ( ) ( ))
нечеткое множество 
, определяющее угол поворота, в соответствии с текущим = 
по аналогии с - (10.8):
= ( ( ))o ( ( ), ( ))= o ( ( ) ( )). (10.15)
Так как конкретное значение угла поворота связано с параметром 
,
задаем Î ½ ( )= 
( ), = . Подставляя в выражение
= [( ( )-1) 
] ê, (10.16)
находим
90
0,
=0,
=900 +900 = 1800, =1,
2700, =2.
