Общие дифференциальные уравнения, описывающие колебания в произвольной системе

 

Выведем общее дифференциальное уравнение, описывающее достаточно широкий круг происходящих в системе колебаний. Для этого рассмотрим открытый колебательный контур, в который подается внешнее напряжение и имеются потери энергии на нагревание проводников (рис. 5.3).

Из закона сохранения энергии следует, что элементарная работа тока, поступающего в контур извне, расходуется на изменение энергии колебаний и на нагревание проводников :

Рис. 5.3

.

Распишем это выражение

,

, ,

,

 

,

, (5.1)

где введены следующие обозначения:

, (5.2)

. (5.3)

Буквой β в формуле (5.2) обозначен коэффициент затухания колебаний, а величина в формуле (5.3) называется циклической (круговой) частотой свободных незатухающих гармонических колебаний контура. Свободные незатухающие колебания происходят в выведенной из состояния равновесия замкнутой системе (нет поступления энергии извне), в которой отсутствуют потери энергии колебаний (β =0).

Уравнение (5.1) описывает различные случаи колебаний в открытом и закрытом колебательных контурах. Для получения аналогичного уравнения, описывающего колебания в механической системе, воспользуемся табл. аналогий 5.1:

, (5.4)

, , (5.5)

 

где – проекция вектора внешней силы на ось Ох, вдоль которой происходят колебания.

Рассмотрим частные случаи решения уравнений (5.1) и (5.4).