Векторная диаграмма. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

 

Возьмем ось . Из начала оси (точка О) отложим вектор под углом к оси (рис. 5.6). Если этот вектор вращать вокруг точки с угловой скоростью , то тогда проекция вектора на ось будет изменяться по гармоническому закону

, .

Такое построение называют векторной диаграммой. Гармоническое колебание на векторной диаграмме совершает проекция вектора на ось . Причем циклическая частота колебаний будет равна по модулю угловой скорости вращения вектора .

Пусть тело (м.т.) одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинаковой частоты, происходящих в одном направлении, причем амплитуды и начальные фазы колебаний различны (, ):

, . (5.24)

Результирующее движение, равное сумме колебаний и , будет также гармоническим колебанием той же циклической частоты

Рис. 5.6

 

.

Необходимо найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Это можно сделать с помощью векторной диаграммы. Для этого проведем из точки О векторы с амплитудами А₁ и А₂ под углами и к оси и приведем их во вращение с угловой скоростью (рис. 5.7).

Проекции векторов и на ось при этом совершают гармонические колебания в соответствии с уравнениями (5.24). Результирующее колебание будет изображаться проекцией на ось вектора , полученного из векторов и по правилу параллелограмма. Из построения на Рис. 5.7 следует, что квадрат амплитуды вектора можно найти по теореме косинусов из треугольника Δ ОА₂А:

,

. (5.25)

Из треугольников Δ ОА₁В и Δ ОАС для начальной фазы результирующего колебания можно найти следующее выражение:

. (5.26)

 

Рассмотрим частные случаи сложения колебаний.

1. , (5.27)

т.е. если разность фаз складываемых колебаний равна четному числу π, то колебания максимально усиливают друг друга.

2. , (5.28)

т.е., если разность фаз складываемых колебаний равна нечетному числу π, то колебания максимально ослабляют друг друга.

3. .

На рис. 5.8 приведены результаты сложения гармонических колебаний в рассмотренных выше случаях 1, 2 и 3, при условии, что =0 и А ₁> А ₂.

Рис. 5.7

Полученные условия максимального усиления (5.27) и ослабления (5.28) колебаний при сложении колебаний одного направления и одинаковой частоты

будут использованы при изучении интерференции когерентных волн.