Механические незатухающие гармонические колебания в замкнутой системе

 

Для замкнутой системы ( =0), в которой отсутствуют потери энергии на преодоление сил сопротивления или трения (β =0), дифференциальное уравнение (5.4) примет вид

. (5.6)

Из теории дифференциальных уравнений следует, что решением этого уравнения(его называют однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка) является гармоническое колебание

, (5.7)

т.е. смещение х тела (материальной точки) от положения равновесия изменяется по гармоническому закону. В уравнении (5.7) введены такие понятия, как

х_m – максимальное смещение или амплитуда колебания. В общем случае под амплитудой колебаний понимают положительную величину, стоящую перед знаком синуса или косинуса;

-– фаза колебаний – величина, стоящая под знаком синуса или косинуса;

– начальная фаза колебаний – фаза колебаний в начальный момент времени t =0;

– циклическая (круговая) частота свободных незатухающих гармонических колебаний системы, определяемая свойствами системы по формуле (5.5).

Циклическая частота связана с периодом колебаний Т и линейной частотой ν соотношениями

. (5.8)

Запишем выражения для проекций скорости, проекции ускорения тела (м.т.) на ось Ох, потенциальной, кинетической и полной энергий тела, совершающего гармонические колебания

, ; (5.9)

, , ; (5.10)

, ; (5.11)

, . (5.12)

Покажем, что амплитуды колебаний кинетической и потенциальной энергий совпадают

.

Тогда

. (5.13)

Итак, из полученных формул следует, что проекция скорости и ускорения , кинетическая и потенциальная энергии W_K, W_P тела (м.т.) изменяются по гармоническому закону подобно ее смещению х, а полная энергия W колебаний м.т. остается при этом неизменной.

Приведем в пределах одного периода Т колебаний графики зависимости х, , , W_K, W_P и W от времени t для м.т. при ее гармонических колебаниях (рис. 5.4, начальная фаза колебаний считается равной нулю: ). При построении графиков удобно записать уравнения колебаний в виде и выбирать моменты времени, равные Þ .

Рис. 5.4

 

Отметим, что для потенциальной и кинетической энергий период гармонических колебаний оказывается в два раза меньше, чем для смещения х.