Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Механические незатухающие гармонические колебания в замкнутой системе




 

Для замкнутой системы ( =0), в которой отсутствуют потери энергии на преодоление сил сопротивления или трения (β=0), дифференциальное уравнение (5.4) примет вид

. (5.6)

Из теории дифференциальных уравнений следует, что решением этого уравнения(его называют однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка)является гармоническое колебание

, (5.7)

т.е. смещение х тела (материальной точки) от положения равновесия изменяется по гармоническому закону. В уравнении (5.7) введены такие понятия, как

хm – максимальное смещение или амплитуда колебания. В общем случае под амплитудой колебаний понимают положительную величину, стоящую перед знаком синуса или косинуса;

-–фаза колебаний – величина, стоящая под знаком синуса или косинуса;

начальная фаза колебаний – фаза колебаний в начальный момент времени t=0;

циклическая (круговая) частота свободных незатухающих гармонических колебаний системы, определяемая свойствами системы по формуле (5.5).

Циклическая частота связана с периодом колебаний Т и линейной частотой ν соотношениями

. (5.8)

Запишем выражения для проекций скорости, проекции ускорения тела (м.т.) на ось Ох, потенциальной, кинетической и полной энергий тела, совершающего гармонические колебания

, ; (5.9)

, , ; (5.10)

, ; (5.11)

, . (5.12)

Покажем, что амплитуды колебаний кинетической и потенциальной энергий совпадают

.

Тогда

. (5.13)

Итак, из полученных формул следует, что проекция скорости и ускорения , кинетическая и потенциальная энергии WK, WP тела (м.т.) изменяются по гармоническому закону подобно ее смещению х, а полная энергия W колебаний м.т. остается при этом неизменной.

Приведем в пределах одного периода Т колебаний графики зависимости х, , ,WK, WP и W от времени t для м.т. при ее гармонических колебаниях (рис. 5.4, начальная фаза колебаний считается равной нулю: ). При построении графиков удобно записать уравнения колебаний в виде и выбирать моменты времени, равные Þ .

Рис. 5.4

 

Отметим, что для потенциальной и кинетической энергий период гармонических колебаний оказывается в два раза меньше, чем для смещения х.







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 890. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2021 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия