Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними





Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначается скалярное произведение символом × или (, ).

, (10)

где j – угол между и .

Свойства скалярного произведения:

1. (, ) = (, );

2. ( + ) = (, ) + (, );

3. (λ , ) = λ (, );

4. (, ) = = 2.

5. Если векторы и перпендикулярны, то (, ) = 0 (необходимое и достаточное условие).

Если векторы и заданы своими координатами:
= (х 1, у 1, z 1), = (х 2, у 2, z 2), то их скалярное произведение вычисляется по формуле

(, ) = х 1 х 2 + у 1 у 2 + z 1 z 2. (11)

Косинус угла φ между векторами и определяется по формуле:

(12)

Если векторы заданы координатами, то необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов примет вид:

x 1 × x 2 + y 1 × y 2 + z 1 × z 2 = 0, (13)

Скалярное произведение векторов и можно записать через проекцию одного вектора на другой по следующей формуле:

(, ) = × = . (14)

Отсюда легко находится проекция одного вектора на другой:

; . (15)

Пример 5. Векторы и образуют угол . Зная,
что , , вычислить скалярное произведение вектора
(2 + 3 ) на вектор ().

Решение. Используя формулу (10) и свойства скалярного произведения, имеем:

((2 + 3 ), ()) = (2 , ) + (3 , ) – (2 , ) – (3 , ) = = 2 2 + 3(, ) – 2 (, ) – 3 2 = 2 2 + (, ) – 3 2;

2 = 52 = 25;

2= 22 = 4;

(, ) = 5 × 2 × cos = 5.

Следовательно, ((2 + 3 ), ()) = 2 × 25 + 5 – 3 × 4 = 43.

Пример 6. Найти угол между векторами = (–1, 2, 4) и
= (2, –1, 3). Вычислить .

Решение. Используем формулу (11). Найдем скалярное произведение векторов и . (, ) = (–1) × 2 + 2 × (–1) + 4 × 3 = 8.

 

Найдем модули и .

;

.

Подставив найденные значения в формулу (12), получим:

, .

Используя формулу (15) и полученные вычисления, имеем .







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 1101. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...


Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...


Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Дренирование желчных протоков Показаниями к дренированию желчных протоков являются декомпрессия на фоне внутрипротоковой гипертензии, интраоперационная холангиография, контроль за динамикой восстановления пассажа желчи в 12-перстную кишку...

Деятельность сестер милосердия общин Красного Креста ярко проявилась в период Тритоны – интервалы, в которых содержится три тона. К тритонам относятся увеличенная кварта (ув.4) и уменьшенная квинта (ум.5). Их можно построить на ступенях натурального и гармонического мажора и минора.  ...

Понятие о синдроме нарушения бронхиальной проходимости и его клинические проявления Синдром нарушения бронхиальной проходимости (бронхообструктивный синдром) – это патологическое состояние...

Ученые, внесшие большой вклад в развитие науки биологии Краткая история развития биологии. Чарльз Дарвин (1809 -1882)- основной труд « О происхождении видов путем естественного отбора или Сохранение благоприятствующих пород в борьбе за жизнь»...

Этапы трансляции и их характеристика Трансляция (от лат. translatio — перевод) — процесс синтеза белка из аминокислот на матрице информационной (матричной) РНК (иРНК...

Условия, необходимые для появления жизни История жизни и история Земли неотделимы друг от друга, так как именно в процессах развития нашей планеты как космического тела закладывались определенные физические и химические условия, необходимые для появления и развития жизни...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия