Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними





Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначается скалярное произведение символом × или (, ).

, (10)

где j – угол между и .

Свойства скалярного произведения:

1. (, ) = (, );

2. ( + ) = (, ) + (, );

3. (λ , ) = λ (, );

4. (, ) = = 2.

5. Если векторы и перпендикулярны, то (, ) = 0 (необходимое и достаточное условие).

Если векторы и заданы своими координатами:
= (х 1, у 1, z 1), = (х 2, у 2, z 2), то их скалярное произведение вычисляется по формуле

(, ) = х 1 х 2 + у 1 у 2 + z 1 z 2. (11)

Косинус угла φ между векторами и определяется по формуле:

(12)

Если векторы заданы координатами, то необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов примет вид:

x 1 × x 2 + y 1 × y 2 + z 1 × z 2 = 0, (13)

Скалярное произведение векторов и можно записать через проекцию одного вектора на другой по следующей формуле:

(, ) = × = . (14)

Отсюда легко находится проекция одного вектора на другой:

; . (15)

Пример 5. Векторы и образуют угол . Зная,
что , , вычислить скалярное произведение вектора
(2 + 3 ) на вектор ().

Решение. Используя формулу (10) и свойства скалярного произведения, имеем:

((2 + 3 ), ()) = (2 , ) + (3 , ) – (2 , ) – (3 , ) = = 2 2 + 3(, ) – 2 (, ) – 3 2 = 2 2 + (, ) – 3 2;

2 = 52 = 25;

2= 22 = 4;

(, ) = 5 × 2 × cos = 5.

Следовательно, ((2 + 3 ), ()) = 2 × 25 + 5 – 3 × 4 = 43.

Пример 6. Найти угол между векторами = (–1, 2, 4) и
= (2, –1, 3). Вычислить .

Решение. Используем формулу (11). Найдем скалярное произведение векторов и . (, ) = (–1) × 2 + 2 × (–1) + 4 × 3 = 8.

 

Найдем модули и .

;

.

Подставив найденные значения в формулу (12), получим:

, .

Используя формулу (15) и полученные вычисления, имеем .







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 1101. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...


Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...


Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Меры безопасности при обращении с оружием и боеприпасами 64. Получение (сдача) оружия и боеприпасов для проведения стрельб осуществляется в установленном порядке[1]. 65. Безопасность при проведении стрельб обеспечивается...

Весы настольные циферблатные Весы настольные циферблатные РН-10Ц13 (рис.3.1) выпускаются с наибольшими пределами взвешивания 2...

Хронометражно-табличная методика определения суточного расхода энергии студента Цель: познакомиться с хронометражно-табличным методом опреде­ления суточного расхода энергии...

Гальванического элемента При контакте двух любых фаз на границе их раздела возникает двойной электрический слой (ДЭС), состоящий из равных по величине, но противоположных по знаку электрических зарядов...

Сущность, виды и функции маркетинга персонала Перснал-маркетинг является новым понятием. В мировой практике маркетинга и управления персоналом он выделился в отдельное направление лишь в начале 90-х гг.XX века...

Разработка товарной и ценовой стратегии фирмы на российском рынке хлебопродуктов В начале 1994 г. английская фирма МОНО совместно с бельгийской ПЮРАТОС приняла решение о начале совместного проекта на российском рынке. Эти фирмы ведут деятельность в сопредельных сферах производства хлебопродуктов. МОНО – крупнейший в Великобритании...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия