Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначается скалярное произведение символом × или (, ).

, (10)

где j – угол между и .

Свойства скалярного произведения:

1. (, ) = (, );

2. ( + ) = (, ) + (, );

3. (λ , ) = λ (, );

4. (, ) = = ².

5. Если векторы и перпендикулярны, то (, ) = 0 (необходимое и достаточное условие).

Если векторы и заданы своими координатами:
= (х ₁, у ₁, z ₁), = (х ₂, у ₂, z ₂), то их скалярное произведение вычисляется по формуле

(, ) = х ₁ х ₂ + у ₁ у ₂ + z ₁ z ₂. (11)

Косинус угла φ между векторами и определяется по формуле:

(12)

Если векторы заданы координатами, то необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов примет вид:

x ₁ × x ₂ + y ₁ × y ₂ + z ₁ × z ₂ = 0, (13)

Скалярное произведение векторов и можно записать через проекцию одного вектора на другой по следующей формуле:

(, ) = × = . (14)

Отсюда легко находится проекция одного вектора на другой:

; . (15)

Пример 5. Векторы и образуют угол . Зная,
что , , вычислить скалярное произведение вектора
(2 + 3 ) на вектор ( – ).

Решение. Используя формулу (10) и свойства скалярного произведения, имеем:

((2 + 3 ), ( – )) = (2 , ) + (3 , ) – (2 , ) – (3 , ) = = 2 ² + 3(, ) – 2 (, ) – 3 ² = 2 ² + (, ) – 3 ²;

² = 5² = 25;

²= 2² = 4;

(, ) = 5 × 2 × cos = 5.

Следовательно, ((2 + 3 ), ( – )) = 2 × 25 + 5 – 3 × 4 = 43.

Пример 6. Найти угол между векторами = (–1, 2, 4) и
= (2, –1, 3). Вычислить .

Решение. Используем формулу (11). Найдем скалярное произведение векторов и . (, ) = (–1) × 2 + 2 × (–1) + 4 × 3 = 8.

 

Найдем модули и .

;

.

Подставив найденные значения в формулу (12), получим:

, .

Используя формулу (15) и полученные вычисления, имеем .