Сложение векторов и умножение вектора на число

1. Если = (x ₁, y ₁, z ₁), = (x ₂, y ₂, z ₂), то

± = (x ₁ ± x ₂, y ₁ ± y ₂, z ₁ ± z ₂). (7)

Если , то для любого числа α имеем:

a × = (ax, ay, az). (8)

3. Признаком коллинеарности векторов и является пропор­циональность их координат:

или . (9)

 

Пример 1. Даны точки А (3, 1, 4), В (–1, 0, 6). Найти координаты вектора и его модуль.

Решение. Координаты вектора найдем по формуле (1), а его модуль – по формуле (2).

= (–1 – 3, 0 – 1, 6 – 4) = (–4, – 1, 2);

.

Пример 2. Даны векторы = (2, –1, 3) и = (–3, 1, 4). Найти вектор .

Решение. Используя правила действия с векторами, заданными своими координатами (формулы (7), (8)), получим:

2 = (4, –2, 6),

3 = (–9, 3, 12),

= 2 – 3 = (13, –5, –6).

 

Пример 3. Найти направляющие косинусы вектора
= 5 – 3 + 2 .

Решение. Вектор разложен по базису . Его координаты равны: х = 5, y = –3, z = 2, т.е. = (5, –3, 2).

= .

Используя формулу (4), получим:

; ; .

Используя формулу (5), можно проверить правильность ответа:

+ ,

следовательно, задача решена верно.

Пример 4. Даны векторы = (2, –3, 4), = (3, 6, 8). Выяснить, будут ли данные векторы коллинеарны.

Решение. Используя признак коллинеарности векторов (формула (9)), запишем отношения координат следующим образом:

Следовательно, векторы и не коллинеарны.