Введение в математический анализ

Дать ответы на теоретические вопросы:

1. Определение функции.

2. Способы задания функции.

3. Основные элементарные функции.

4. Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки.

5. Определение предела функции в точке.

6. Геометрический смысл предела функции.

7. Бесконечно малые величины и их свойства.

8. Бесконечно большие величины и их свойства.

9. Основные теоремы о пределах.

10. Вычисление пределов.

11. I и II замечательные пределы.

12. Непрерывность функции.

13. Односторонние пределы.

14. Точки разрыва и их классификация.

 

2.5.1. Определение функции. Способы задания функции

Если каждому значению переменной х, принадлежащему некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной у, то у есть функция от х, или в символической записи
= f (x), = j (х) и т.д.

Переменная х называется независимой переменной или аргументом. Зависимость переменных х и у называется функциональной зависимостью.

Функция у = f (х) может быть задана табличным, графическим или аналитическим способом.

Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значение аргумента х и соответствующее значение функции f (х).

Графический способ – это совокупность точек плоскости (хоу), абсциссы которых являются независимой переменной, а ординаты –соответствующими значениями функции. Эта совокупность точек называется графиком данной функции.

Аналитический способ – это задание функции формулой вида
у = f (х), встречающейся наиболее часто. Например: у = 3 х ² + 4;
у = sin5 х и т.д.

 

2.5.2. Основные элементарные функции

Основными элементарными функциями называют аналитическим способом заданные функции.

1. Степенная функция: у = хⁿ, где n – действительное число.

2. Показательная функция: у = а^х, где а – положительное число, не равное единице (а > 0, a ¹ 1).

3. Логарифмическая функция: у = log _ax, где основание логарифма а – положительное число, не равное единице (а > 0, a ¹ 1).

4. Тригонометрические функции: у =sin x, у =cos x, у =tg x, у =ctg x, у =sec x, у =cosec x.

5. Обратные тригонометрические функции: у =arcsin x, у =arccos x, у =arctg x, у =arcctg x, у =arcsec x, у =arccosec x.

Функции, заданные одной формулой посредством конечного числа арифметических действий и операций, определяемых основными элементарными функциями, называются элементарными.

Например: ; и т.д.

Все остальные функции называются неэлементарными. Напри­мер, неэлементарной является функция, определяемая несколькими раз­лич­ными формулами для различных интервалов изменения аргумента:

.

 

2.5.3. Абсолютная величина действительного числа

Определение. Абсолютной величиной (или модулем) действи­тельного числа х (обозначается ) называется неотрицательное дейст­вительное число, удовлетворяющее следующим условиям:

Например:

Если , это означает, что х удовлетворяет

неравенствам , (рис.4).

Рис.4

 

Если , то отсюда следует, что и (рис.5).

Рис.5

Решениями неравенства будут точки интервала (а – e, а + e) (рис.6), удовлетворяющие неравенству
а – e < х < а + e.

Рис.6

Всякий интервал, содержащий точку а, называется окрестностью точки а.

Интервал (а – e, а + e), т.е. множество точек , таких, что (где e > 0), называется e окрестностью точки а.

 

Пример 1. Определить, при каких значениях х будут справедливы следующие неравенства: а) б) .