Решение. а) Так как прямая параллельна прямой х = 3 + 6t, y = 2 – 4t, z = 7 – t, то они имеют один и тот же направляющий вектор

а) Так как прямая параллельна прямой х = 3 + 6 t, y = 2 – 4 t, z = 7 – t, то они имеют один и тот же направляющий вектор . Подставляя значения х ₀ = 5, у ₀ = –1; z ₀ = –4 и координаты вектора в формулы (32), (33) получим уравнения искомой прямой и ;

б) В качестве направляющего вектора можно взять вектор , соответствующий орт-вектор , тогда имеем и .

в) Поскольку вектор перпендикулярен плоскости
х + 2 у + 3 z – 5 = 0, то по условию задачи он параллелен прямой. Следовательно, уравнения прямой будут иметь следующий вид:

и .

Пример 15. Составить канонические уравнения прямой, прове­денной через точку М ₀(6, 2, –3) параллельно вектору . Лежат ли на этой прямой точки А (2, 7, –10) и В (10, –3, 5)?

Решение. Применив формулу (16), получим канонические уравнения прямой: .

Подставим в эти уравнения координаты точки А (2, 7, –10).

, следовательно, точка А лежит на прямой.

Проверим, лежит ли точка В (10, –3, 5) на прямой , точка В не принадлежит прямой.

 

Пример 16. Найти уравнения прямой, проходящей через точки
А (1, 2, –1) и В (0, 3, –4).

Решение. Согласно формуле (34), имеем:

или .

 

Пример 17. Найти острый угол между двумя прямыми

и .

Решение. Зная направляющие векторы прямых ₁= (3, –1, 2) и
₂ = (2, 4, –2) и используя формулу (37), имеем:

.

 

Пример 18. Найти проекцию точки А (1, –3, 2) на плоскость
6 х + 3 у – z – 41 = 0.

Решение. Проекцией точки А на плоскость будет точка пересечения данной плоскости и перпендикуляра к этой плоскости, проходящего через точку А. Нормальный вектор плоскости = (6, 3, –1) будет направляющим вектором для прямой. Параметрическое уравнение этой прямой:

х = 1 + 6 t,

y = –3 + 3 t,

z = 2 – t.

Подставляя значения х, у, z в уравнение плоскости, найдем значение параметра t: 6 × (1 + 6t) + 3× (–3 + 3t) – 1 × (2 – t) = 0, отсюда t = 1.

Подставляя значения t = 1 в параметрические уравнения прямой, найдем координаты искомой точки (проекции): х = 7, у = 0,
z = 1, т.е. проекцией точки А на данную плоскость будет точка В (7; 0; 1).