Решение.

1. = (3 – 4 i) + (–5 +2 i) = (3 – 5) + i (–4 + 2) = –2 – 2 i.

2. = (3 – 4 i) – (–5 – 2 i) = (3 – (–5)) + i (–4 – (–2)) = 8 – 2 i.

3. = (3 – 4 i)(–5 +2 i) = 3× (–5) + (–4 i)× (–5) + 3× 2i + (–4 i)× (2 i) =
= –15 + 20 i + 6 i – 8 i ² = –7 + 26 i.

4.

.

 

Пример 2. Найти действительную и мнимую части числа:

.

Решение. Будем выполнять преобразования последовательно.

1. (–2 + 4 i)× (3 – i) = –6 + 12 i + 2 i – 4 i ² = –6 + 14 i + 4 = –2 + 14 i.

2. (–2 – 2 i)² = (–2)² + 2× (–2)(–2 i) + (–2 i)²= 4 + 8 i + 4 i ² = 8 i.

3. .

4. i ¹⁸ = i ¹⁶ × i ² = (i⁴)⁴ × i ² = 1 × (–1)= –1.

5. .

Ответ: .

Пример 3. Найти x и y и записать комплексное число z, если

(2 x + 3 i)(–1 + i) – (2 x + iy)(–3 i) = 4 + 2 i.

Решение. Преобразуем левую часть:

(2 x + 3 i)(–1 + i) – (2 x + iy)(–3 i) =

= –2 x + 3 i + 2 xi + 3 i ² + 6 xi + 3 yi ² =

= –2 x – 3 i + 2 xi – 3 + 6 xi –3 y =

= (–2 x – 3 y –3) + i (8 x – 3).

Получим: (–2 x – 3 y – 3) + i (8 x – 3) = 4 + 2 i.

Используя равенство комплексных чисел, запишем систему уравнений:

.

 

Пример 4. Решить уравнение z ² – 2 z + 4 = 0.

Решение. т.к. i ² = –1, а , имеем , .

 

1.5.3. Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексное число в тригонометрической форме имеет вид

,

где r – модуль комплексного числа z и обозначается | z |,

,

угол j называется аргументом числа z и обозначается Arg z. Из значений j = arg z выделяется главное значение arg z, удовлетво-ряющее условию .

Пример 5. Представить в тригонометрической форме следующие комплексные числа: z = 3; z = 2.

Решение. Чтобы представить в тригонометрической форме комплекс­ное число, надо:

1) построить точку на комплексной плоскости, соответствующую данному комплексному числу;

2) провести радиус-вектор этой точки;

3) найти модуль комплексного числа z;

4) найти аргумент числа z.

При вычислении аргумента комплексного числа z необходимо учитывать четверть, в которой лежит точка z.

1) Рассмотрим комплексное число z ₁ = 1 + i. На комплексной плоскос-ти построим точку М ₁ с координатами (1; 1), соответствующую этому числу, проведем радиус-вектор и отметим угол j _1.

 

2) Рассмотрим z ₂ = –1 + i.

 

3) Рассмотрим z ₃ = –1 – i.

 

4) Рассмотрим z ₄ = 1 – i.

5) Рассмотрим z ₅ = 3 = 3 + 0 i.

6) Рассмотрим z ₆ = – 3 = –3 + 0 i.

.

 

7) Рассмотрим z ₇ = 2 i = 0 + 2 i.

.

8) Рассмотрим z₈ = – 2 i = 0 – 2 i.

.

 

 

1.5.4. Действия над комплексными числами
в тригонометрической форме

Над комплексными числами в тригонометрической форме удобно выполнять следующие действия: умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня.

Пусть комплексные числа заданы в тригонометрической форме:

.

Тогда модуль произведения этих числе равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения – сумме аргументов сомножителей:

.

Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя:

Если , то . Эта формула называется формулой Муавра.

Пусть n – целое положительное число, а . Корень n -й степени из комплексного числа z имеет n значений, которые могут быть найдены по формуле:

,

где k = 0, 1, ¼, n – 1. Если k давать n, (n + 1), ¼, значения, то будут повторяться значения корня при k = 0, 1, ¼, n – 1.

 

1.2.5. Показательная форма комплексного числа

По формуле Эйлера . Следовательно, всякое комплексное число можно еще представить в показательной форме. В этом случае оно имеет следующий вид:

.

Пусть комплексные числа заданы в показательной форме:

, .

Тогда:

1) ;

2) ;

3) ;

4) , k = 0, 1, 2 ¼, (n – 1) × V.

 

Пример 6. Комплексные числа z ₁ = –2 + 2 i, представить в тригонометрической форме. Найти:

1)

2)

3) (z 1)8;

4) .

Решение. Представим z ₁= –2 + 2 i в тригонометрической форме:

 

.

Представим в тригонометрической форме:

 

1) Найдем z = z ₁ × z ₂.

;

;

;

.

2)

3)

4)

, k = 0, 1, 2.

Получаем три значения корня:

k ₁ = 0, ;

k ₂ = 1,

k ₃ = 2,

Ответ каждого примера можно записать в показательной форме:

1) z ₁ × z ₂ =

2)

3)

4) .

КОНТРОЛЬНая РАБОТа №2