Аналитическая геометрия

Дать ответы на теоретические вопросы:

1. Определение линии в аналитической геометрии.

2. Нахождение точки пересечения двух линий.

3. Общее уравнение прямой на плоскости.

4. Что называется угловым коэффициентом прямой на плоскости?

5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

6. Угол между двумя прямыми.

7. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом.

8. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки на плоскости.

9. Признаки параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

10. Определение нормального вектора плоскости.

11. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор.

12. Общее уравнение плоскости.

13. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

14. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

15. Направляющий вектор прямой.

16. Канонические уравнения прямой в пространстве.

17. Параметрические уравнения прямой в пространстве.

18. Канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки.

19. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.

2.4.1. Прямая линия на плоскости

Прямая линия на плоскости определяется уравнением первой степени, и, наоборот, каждое уравнение первой степени определяет прямую.

Уравнение вида:

Ах + Ву + с = 0 (16)

называется общим уравнением прямой.

Уравнение

у = kх + b (17)

называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, где k – угловой коэффициент, равный тангенсу наклона прямой к оси Ох, т.е.
k = tg a; b – величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат (рис. 1).

Рис.1

Уравнение

у – у ₀ = k (х – х ₀) (18)

называется уравнением прямой, проходящей через точку М ₀(х ₀, у ₀) с угловым коэффициентом k.

Если прямая проходит через точки М ₁(х ₁, у ₁) и М ₂(х ₂, у ₂), то ее уравнение определяется по формуле:

. (19)

Уравнение прямой

(20)

называется уравнением прямой в отрезках, где а и b – длины отрезков, отсекаемые на осях координат, взятые с соответствующими знаками.

Если прямые заданы уравнениями у = k ₁ х + b ₁ и у = k ₂ х + b ₂, то тангенс угла между ними определяется формулой:

. (21)

Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов:

k ₁ = k ₂. (22)

Признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение:

k ₁ × k ₂= –1 или . (23)

Если прямые заданы общими уравнениями:

А ₁ х + В ₁ у + С ₁ = 0 и А ₂ х + В ₂ у + С ₂ = 0, (24)

то условие перпендикулярности прямых можно записать в следующем виде:

А ₁ × А ₂ + В ₁ × В ₂ = 0,

а условие параллельности:

.

При рассмотрении уравнений прямых(24) можно представить три случая:

а) – прямые имеют одну общую точку, чтобы найти ее координаты, надо решить систему уравнений ;

б) – прямые параллельны;

с) – прямые сливаются, т.е. оба уравнения определяют одну и ту же прямую.

 

Пример 1. Построить прямую 2 х – 3 у +6 = 0.

Решение. Определим точки пересечения прямой 2 х – 3 у +6 = 0 с координатными осями; при у = 0 получаем 2 х + 6 = 0, х = –3. Точка А пересечения прямой с осью Ох имеет координаты (–3; 0); при х = 0 имеем –3 у + 6 = 0, у = 2, и прямая пересекает ось Оу в точке В (0; 2). Построим эти точки, соединим их прямой и получим прямую, соответствующую данному уравнению (рис.2).

Рис.2 Рис.3

 

Пример 2. Построить прямую у = –2 х.

Решение. Прямая у = –2 х проходит через начало координат (b = 0), поэтому для построения достаточно найти только одну точку, принадлежащую ей. Взяв х = –1, получим у = –2 × (–1) = 2, т.е.
А (–1, 2). Проведем прямую через точку А и начало координат (рис.3).

Пример 3. Найти угловой коэффициент прямой
4 х – 3 у +12 =0.

Решение. Уравнение прямой дано в общем виде. Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид у = kх + b. Решим уравнение прямой 4 х – 3 у + 12 = 0 относительно у:

3 у = 4 х + 12,

у = х +4.

Следовательно, угловой коэффициент k = .

Пример 4. Под каким углом прямая у = 2 х + 3 пересекает ось Ох?

Решение. Прямая задана уравнением с угловым коэффициентом в виде (2), следовательно, k = 2. Т.к. k – это тангенс угла, который прямая составляет с положительным направлением оси Ох, то можно записать: k = tg φ = 2, т.е. tg φ = 2, а φ = arctg2.

 

Пример 5. Найти уравнение прямой, проходящей через две точки М ₁(–1, 2) и М ₂(2, 1).

Решение. В уравнении (19), полагая х ₁ = –1, у ₁ = 2, х ₂ = 2, у ₂ = 1, получим , или . После упрощения получаем уравнение прямой в общем виде у + 3 х – 5 = 0.

Пример 6. Найти уравнение прямой, проходящей через точку
А (2, 5) параллельно прямой 3 х – 4 у + 15 = 0.

Решение. Так как угловые коэффициенты параллельных прямых между собой равны, а для данной прямой , то и угловой коэффициент искомой прямой также равен . Используем уравнение (19), и зная координаты точки А (2, 5), имеем х ₀ = 2, у ₀ = 5. Подставляя найденные значения в формулу (18), получим:

; 4 у – 3 х – 14 = 0.

Пример 7. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А (5, –1) перпендикулярно к прямой 3 х – 7 у +14 = 0.

Решение. Угловой коэффициент искомой прямой найдем из формулы (23), т.е. он должен быть обратен по абсолютной величине и противоположен по знаку угловому коэффициенту данной прямой.

Угловой коэффициент данной прямой 3 х – 7 у +14 = 0, ; тогда угловой коэффициент прямой, ей перпендикулярной, .

Подставив координаты точки А (5, –1) и значение в формулу (18), получаем: .

Сделав преобразования, получим общее уравнение прямой:

7 у – 4 х – 26 = 0.

 

Пример 8. Найти точку пересечения прямых х – 3 у + 11 = 0 и 9 х + 7 у – 3 = 0.

Решение. Прямые заданы общими уравнениями. Чтобы найти точку их пересечения, надо решить систему:

.

Следовательно, прямые пересекаются в точке А (–2; 3).

 

2.4.2. Плоскость в пространстве

Плоскость в пространстве относительно прямоугольной системы координат может быть задана различными способами.

В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени и каждое уравнение первой степени определяет плоскость.

Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется ее нормальным вектором.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку
М ₀(х ₀, у ₀, z ₀) и имеющей нормальный вектор имеет вид:

А (х – х ₀) + В (у – у ₀) + С (z – z ₀) = 0. (25)

Раскрывая в уравнении (25) скобки и обозначая число
(– Ах ₀ – Ву ₀ – Сz ₀) через D, получим выражение:

Ах + Ву + Сz + D = 0. (26)

Уравнение (26) называется общим уравнением плоскости.

Частные случаи общего уравнения плоскости:

1. Свободный член D равен нулю, т.е. Ах + Ву + Сz = 0 (плоскость проходит через начало координат).

2. Один из коэффициентов при текущих координатах равен нулю и

а) D 0, тогда плоскость параллельна соответствующей координатной оси:

А = 0, Ву + Сz + D = 0 (плоскость параллельна оси Ох);

В = 0, Ах + Сz + D = 0 (плоскость параллельна оси Оу);

С = 0, Ах + Ву + D = 0 (плоскость параллельна оси Оz);

б) D = 0, тогда плоскость проходит через соответствующую координатную ось:

А = 0, Ву + Сz = 0 (плоскость проходит через ось Ох);

В = 0, Ах + Сz = 0 (плоскость проходит через ось Оу);

С = 0, Ах + Ву = 0 (плоскость проходит через ось Оz).

3. Два коэффициента при текущих координатах равны нулю и

а) D 0, тогда плоскость параллельна соответствующей координатной плоскости:

В = 0, С = 0, ах + D = 0 (плоскость параллельна плоскости Оуz);

А = 0, С = 0, Ву + D = 0 (плоскость параллельна плоскости Охz);

А = 0, В = 0, Сz + D = 0 (плоскость параллельна плоскости Оху);

б) D = 0, тогда плоскость совпадает с соответствующей координатной плоскостью:

В = 0, С = 0, ах = 0 или х = 0 (уравнение плоскости Оуz);

А = 0, С = 0, Ву = 0 или у = 0 (уравнение плоскости Охz);

А = 0, В = 0, Сz = 0 или z = 0 (уравнение плоскости Оху).

Если ни один из коэффициентов общего уравнения (26) не равен нулю, то оно может быть преобразовано к виду

, (27)

где – алгебраические величины направленных отрезков, отсекаемых на осях координат.

Уравнение (27) называется уравнением плоскости в отрезках.

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки М ₁(х ₁, у ₁, z ₁), М ₂(х ₂, у ₂, z ₂) и М ₃(х ₃, у ₃, z ₃), в координатной форме имеет вид:

. (28)

Угол между двумя плоскостями и А ₂ х + В ₂ у + С ₂ z + D ₂ = 0 определяется формулой:

. (29)

Необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей:

. (30)

Условие перпендикулярности плоскостей:

А ₁ × А ₂ + В ₁ × В ₂ + С ₁ × С ₂ = 0. (31)

 

Пример 9. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной вектору и проходящей через точку М ₀(5, 2, –3).

Решение. Подставляя в уравнение (25) значения А = 2, В = –1, С = 4, х ₀ = 5, у ₀ = 2, z ₀ = –3, получим 2(х – 5) – (у – 2) + 4(z + 3) = 0. Раскрывая скобки и приводя подобные члены, находим искомое уравнение плоскости 2 х – у + 4 z + 4 = 0.

Пример 10. Определить отрезки, отсекаемые плоскостью
2 х – 3 у + 8 z – 4 = 0 на осях координат.

Решение. Переписав уравнение в виде 2 х – 3 у + 8 z = 4 и разделив обе его части на 4, получим:

или .

Сравнивая последнее уравнение с уравнением (27), находим а = 2;
.

 

Пример 11. Составить уравнение плоскости, проходящей через три данные точки М ₁(1, 3, –2), М ₂(4, –5, 6) и М₃(–3, 1, 2).

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точки М ₁, М ₂ и М ₃, в соответствии с (28), запишется так:

или .

Разлагая определитель по элементам первой строки, получим

или после преобразования имеем 8 х + 22 у + 19 z – 36 = 0.

 

Пример 12. Найти угол между плоскостями:

11 х – 8 у – 7 z +5 = 0 и 7 х + 2 у – 8 z – 3 = 0.

Решение. Подставляя в формулу (29) значения А ₁ = 11, В ₁ = –8,
С ₁ = –7, А ₂ = 7, В ₂ = 2, С ₂ = –8, получим:

.

Следовательно, φ = 45⁰.

 

Пример 13. Через точку М (2, –1, –3) провести плоскость, параллельную плоскости 5 х – 4 у + 6 z –3 = 0.

Решение. Из уравнения данной плоскости запишем координаты ее нормального вектора . Так как по условию плоскости параллельны, то нормальный вектор данной плоскости может служить нормальным вектором искомой плоскости. Данная задача свелась к примеру 1. Используем формулу (25):

5(х –2) + (–4) × (у – (–1)) + 6 (z – (–3)) = 0,

5 х – 4 у + 6 z + 4 = 0.

2.4.3. Прямая в пространстве

Прямая в пространстве относительно прямоугольной декартовой системы координат может быть задана различными способами. Например, прямая однозначно определяется точкой и параллельным ей вектором, двумя точками и т.д. В зависимости от способа задания прямой рассматривают различные виды ее уравнений.

Прямая как пересечение двух плоскостей определяется совместным заданием двух уравнений первой степени:

,

при условии, что коэффициенты А ₁, В ₁, С ₁ первого из них не пропорциональны коэффициентам А ₂, В ₂, С _2.

Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельной ей, называется направляющим вектором этой прямой.

Если известна одна точка М ₀(х ₀, у ₀, z ₀), прямой и направляю­щий вектор , то прямая может быть определена уравнениями вида:

. (32)

В этом случае уравнения прямой называются каноническими. Обозначив буквой t каждое из равных отношений в канонических уравнениях, мы получим параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М ₀(х ₀, у ₀, z ₀) с направляющим вектором:

. (33)

Канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки М ₁(х ₁, у ₁, z ₁) и М ₂(х ₂, у ₂, z ₂), имеют вид:

. (34)

Если в пространстве заданы две прямые:

и , то:

а) условие параллельности этих прямых:

; (35)

б) условие перпендикулярности:

; (36)

в) угол между прямыми определяется по формуле:

. (37)

 

Пример 14. Составить канонические и параметрические уравнения прямых, проведенных через точку М ₀(5, –1, –4) в каждом из следующих случаев:

a) прямая параллельна прямой х = 3 + 6 t, y = 2 – 4 t, z = 7 – t;

b) прямая параллельна оси Ох;

c) прямая перпендикулярна плоскости х + 2 у + 3 z –5 = 0.