Матрицы

Матрицей размера m ´ n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, А, В, С, ¼, а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией: а_ij, где i – номер строки, j – номер столбца.

Кроме круглых скобок, для обозначения матрицы исполь­зуются [ ], || ||.

Матрица размера n ´ n называется квадратной:

.

Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, составленная из элементов а ₁₁, а ₂₂, ¼, а_nn.

Диагональной матрицей называется квадратная матрица, у ко­торой все элементы, не находящиеся на главной диагонали, равны нулю:

.

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой каждый элемент, находящийся на главной диагонали, равен единице:

.

Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой нули.

Матрица размера m ´ 1 называется матрица столбец.

.

Матрица размера 1 ´ n называется матрица строка.

.

 

1.4.1. Алгебра матриц

1. Две матрицы называются равными, если они одинакового размера и каждый элемент одной матрицы равен соответствующему элементу другой матрицы.

2. Суммой двух матриц А и В одного и того же размера m ´ n будет третья матрица С размера m ´ n, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.

3. Произведением матрицы А размера m ´ n на число l будет матрица С того же размера m ´ n, элементы которой равны соответствующим элементам матрицы А, умноженным на число l.

4. Произведением матрицы А_{m ´ k} × B_{k ´ n} называется такая матрица С_{m´ n}, каждый элемент которой с_ij равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В.

Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

 

Пример 11. Найти матрицу С = 2А + 3В, если

.

Решение. Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число. Следовательно:

.

Чтобы сложить (вычесть) две матрицы одинаковой размерности, надо сложить (вычесть) их соответствующие элементы.

.

 

Пример 12. Найти матрицу С = А^Т + 2 В, если:

.

Решение. Строим матрицу А^Т, транспонированную матрице А, для чего в матрице А строки и столбцы поменяем местами.

,

.

 

Пример 13. Найти произведение матрицы А × В и В × А, если
, .

Решение. Матрицы можно перемножить только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

У матрицы А три столбца, у матрицы В три строки, следовательно, произведение А × В существует.

Произведение В × А также возможно, т.к. у матрицы В два столбца, а у матрицы А две строки. Произведением матрицы А размера m n на матрицу В размера n p будет матрица размера m p, у которой элемент с номером ij (i = 1, 2, ¼, m, j = 1, 2, ¼, p) равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы А на соответствующие элементы j столбца матрицы В.

;

А × В В А.

 

Пример 14. Найти значение многочлена f (A) от матрицы А, если

f (x) = 3 x ² – 4, .

Решение. f (A) = 3 А ² – 4 Е. Где Е – единичная матрица. Найдем А ².

;

 

1.4.2. Обратная матрица

Определение 1. Квадратная матрица А называется вырожден­ной, если det A = 0, и невырожденной, если det A ¹ 0.

Определение 2. Матрица А ^–1 называется обратной для матрицы А, если

А × А ^–1 = А ^–1 × А = Е, (8)

где Е –единичная матрица.

 

Теорема. Всякая невырожденная матрица А имеет обратную матрицу вида:

, (9)

где А_ij – алгебраические дополнения элемента а_ij матрицы А.

Правило построения обратной матрицы:

1) Находим det A. Если det A ¹ 0, то матрица А невырожденная и для нее существует обратная. Если det A = 0, то матрица А вырожденная и обратная матрица А ^–1 не существует.

2) Находим матрицу А^Т, транспонированную к матрице А.

3) Заменяем каждый элемент матрицы А^Т его алгебраическим дополнением, используя формулу (5).

4) Вычисляем обратную матрицу по формуле (9).

5) Проверяем правильность вычисления обратной матрицы, используя формулу (8).

 

Пример 15. Найти матрицу А ^–1 обратную матрице А, если

.