Определение функции непрерывной в точке

Определение 1. Функция f (x) называется непрерывной в точке х _0, если в этой точке ее приращение D у стремится к нулю, когда приращение аргумента D х стремится к нулю, или функция f (x) называется непрерывной в точке х ₀, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. , или, что то же самое,

. (42)

 

Пример 14. Доказать, что функция у = 3 х ² + 2 х непрерывна в произвольной точке х ₀. Использовать первое определение непрерывности (42).

Решение. Функция у = 3 х ² + 2 х определена при всех х, т.е. в бесконечном интервале.

Покажем, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. Фиксируем произвольную точку х ₀, аргументу х даем приращение D х, тогда

тогда

Перейдем к пределу .

Условие (42) выполняется, значит, данная функция всюду непрерывна.

 

Определение 2. Если предел функции при су­ществует и равен значению функции в точке , то функция называется непрерывной при или в точке , т.е. Для функции , непрерывной при , должно выполняться равенство:

. (43)

Для того чтобы согласно этому определению функция была непрерывна при , требуется выполнение трех условий:

1. Точка должна принадлежать области определения функции, т.к. иначе о значении функции в этой точке не имеет смысла говорить. Функция должна быть определена не только в самой точке , но и в некоторой ее окрестности.

2. Функция должна иметь конечный предел при , т.е.

.

3. Предел А должен быть равен значению функции в точке , т.е. выполняется равенство .

 

Пример 15. Используя второе определение непрерывности функции в точке (43), доказать, что функция у = 4 х ⁴ + 3 х ³ – 2 непрерывна на бесконечном интервале.

Решение. Заданная функция определена на всей числовой оси. Возьмем произвольную точку ,

1) Вычислим предел функции: у = 4 х ⁴ + 3 х ³ – 2 при :

;

2) Найдем значение функции в точке : .

Сравнивая результаты, видим, что условие (43) выполняется.

 

2.5.11. Односторонние пределы функции