Гиперболическая модель

Регрессия в виде равносторонней гиперболы имеет вид:

 

, (2.15)

 

Чтобы оценить параметры a и b, приведем модель к линейному виду, заменив .

Тогда

 

, (2.16)

Применяя метод МНК (метод наименьших квадратов), получаем систему нормальных уравнений:

 

, (2.17)

 

Для расчета параметров составим таблицу 2.

По исходным данным рассчитаем

Система нормальных уравнений составит:

 

 

Решим ее методом определителей: определитель системы равен:

 

, (2.18)

 

 

, (2.19)

 

 

Таблица 2– Вспомогательная расчетная таблица

Номер региона
	4, 5	68, 8	0, 222	0, 0494	15, 289	68, 93	-0, 13	0, 02	0, 187
	5, 9	58, 3	0, 169	0, 0287	9, 881	58, 51	-0, 21	0, 04	0, 360
	5, 7	62, 6	0, 175	0, 0308	10, 982	59, 68	2, 92	8, 50	4, 657
	7, 2	52, 1	0, 139	0, 0193	7, 236	52, 46	-0, 36	0, 13	0, 698
	6, 2	54, 5	0, 161	0, 0260	8, 790	56, 89	-2, 39	5, 71	4, 384
	6, 0	57, 1	0, 167	0, 0278	9, 517	57, 95	-0, 85	0, 73	1, 492
	7, 8		0, 128	0, 0164	6, 538	50, 35	0, 65	0, 42	1, 270
	8, 0	50, 1	0, 125	0, 0156	6, 263	49, 72	0, 38	0, 15	0, 760
	51, 3	454, 5	1, 287	0, 2140	74, 497	454, 50	0, 00	15, 69	13, 807

 

 

, (2.4)

 

 

, (2.21)

 

 

, (2.6)

 

 

Получаем уравнение регрессии:

 

Чтобы рассчитать ошибку аппроксимации, найдем расчетные значения , подставляя в уравнение регрессии соответствующие значения .

Для оценки тесноты связи найдем индекс корреляции:

 

 

Остаточная сумма квадратов составит:

 

 

Следовательно, индекс корреляции составит:

 

 

Коэффициент детерминации для уравнения гиперболы равен:

 

 

критерий Фишера будет равен:

, (2.22)

Табличное значение критерий Фишера при числе степеней свободы 1 и 6 и уровне значимости 0, 05 составит: , то есть фактическое значение критерия превышает табличное, и можно сделать вывод, что уравнение регрессии статистически значимо.

Ошибки аппроксимации для каждого наблюдения определяются как

%, (2.14)

Средняя ошибка аппроксимации находится, как средняя арифметическая простая из индивидуальных ошибок:

%

 

Ошибка аппроксимации показывает соответствие расчетных и фактических данных.