Задача №3. По 12 предприятиям отрасли изучается зависимость при­были (тыс

По 12 предприятиям отрасли изучается зависимость при­были (тыс. руб.) у от выработки продукции на одного человека (единиц) х по следующим данным:

Таблица 1– Исходные данные

Номер Предприятия	Выработка продукции на одного человека, единиц, х	Прибыль предприятия, тыс. руб., у

 

Требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии у = f(x).

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю

ошибку аппроксимации.

3.Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.

4. Дать точечный и интервальный прогноз прибыли с вероятно­стью 0, 95, принимая уровень выработки равным 92 единицам.

Решение:

1. Для расчета параметров уравнения линейной регрессии стро­им таблицу 2.

Таблица 2– Расчетная таблица

Номер предприятия
							–16	12, 0
							–4	2, 7
							–23	17, 2
								2, 6
								1, 9
								10, 8
								0, 0
								0, 0
								5, 3
								3, 1
								7, 5
							–10	5, 8
Итого								68, 8
Среднее значение	85, 58	155, 75	13484, 0	7492, 3	24531, 4	–	–	5, 7
	12, 95	16, 53	–	–	–	–	–	–
	167, 7	273, 4	–	–	–	–	–	–

 

Рассчитаем параметры и по формулам:

 

, (2.29)

 

 

, (2.30)

 

 

Получаем уравнение регрессии:

 

 

С увеличением выработки на 1 единицу прибыль возрастает в среднем на 0, 92 тыс. руб.

2. Тесноту линейной связи измеряет коэффициент корреляции:

 

, (2.31)

Коэффициент корреляции можно также рассчитать по формуле:

 

, (2.7)

 

, (2.8)

 

 

, (2.9)

 

, (2.10)

 

 

, (2.11)

 

 

, (2.12)

 

 

Величина коэффициента корреляции означает достаточно тесную связь рассматриваемых признаков.

Коэффициент детер­минации показывает, что 52 % вариации прибыли свя­зано с вариацией выработки продукции на одного работника.

Качество модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8–10 % (см. среднее значение в последней графе таблицы 2).

3. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью - статистики Стьюдента и вычислим дове­рительные интервалы для каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу Н_о о статистически незначимых отли­чиях от нуля значений показателей:

для числа степеней свободы

Определим случайные ошибки параметров , и коэффи­циента корреляции :

 

, (2.32)

 

где – ошибка параметра а;

– стандартная ошибка регрессии, определяемая как

 

, (2.33)

 

 

 

, (2.34)

 

 

, (2.35)

 

Далее вычисляем значения критерия Стьюдента:

 

, (2.36)

 

 

, (2.37)

 

 

, (2.38)

 

Фактические значения – статистики превосходят табличное значение на 5 %–м уровне значимости при числе степеней свободы : . Поэтому гипотеза Н_о отклоняется, то есть , и отличаются от нуля не случайно и их значения статистически значимы.

Рассчитаем доверительный интервал для a и b, для чего определим предельную ошибку для каждого параметра:

, (2.39)

 

, (2.40)

 

Доверительные интервалы:

, (2.41)

 

 

, (2.42)

 

 

, (2.43)

 

 

, (2.44)

 

 

, (2.45)

 

 

, (2.46)

 

Анализ верхней и нижней границ доверительных интерва­лов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры и , находясь в указанных границах, не при­нимают нулевых значений, то есть не являются статистически не­значимыми и существенно отличны от нуля.

4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют исполь­зовать его для прогноза. Если примем прогнозное значение вы­работки , то точечный прогноз прибыли составит:

 

, (2.47)

 

тыс. руб.

Чтобы получить интервальный прогноз, найдем стандартную ошибку предсказываемого значе­ния прибыли :

, (2.48)

 

тыс. руб.

Предельная ошибка прогнозируемой прибыли составит:

, (2.49)

 

тыс. руб.

Доверительный интервал прогнозируемой прибыли составит:

 

то есть при выработке, равной 92 единицы, получим значение прибыли не

меньше чем тыс. руб., и не больше чем тыс. руб.