Степенная модель

Регрессия в виде степенной функции имеет вид:

 

, (2.23)

 

Для оценки параметры a и b, линеаризуем модель путем логарифмирования:

, (2.24)

 

Обозначим ; ;

Тогда получим:

, (2.25)

 

Применяя метод МНК (метод наименьших квадратов), получаем систему нормальных уравнений:

 

, (2.26)

Для расчета параметров составим таблицу 2.

По исходным данным рассчитаем , , ,

Система нормальных уравнений составит:

 

Решим ее методом определителей: определитель системы равен:

 

, (2.27)

Таблица 3 – Вспомогательная расчетная таблица

Номер региона
	4, 5	68, 8	1, 50	4, 23	6, 36	2, 2622	17, 9031	4, 22	68, 28	0, 52	0, 27	0, 756
	5, 9	58, 3	1, 77	4, 07	7, 22	3, 1505	16, 5291	4, 07	58, 70	–0, 40	0, 16	0, 686
	5, 7	62, 6	1, 74	4, 14	7, 20	3, 0292	17, 1128	4, 09	59, 84	2, 76	7, 62	4, 430
	7, 2	52, 1	1, 97	3, 95	7, 80	3, 8970	15, 6275	3, 96	52, 52	– 0, 42	0, 18	0, 806
	6, 2	54, 5	1, 82	4, 00	7, 29	3, 3290	15, 9856	4, 04	57, 09	– 2, 59	6, 73	4, 752
	6, 0	57, 1	1, 79	4, 04	7, 25	3, 2104	16, 3604	4, 06	58, 15	–1, 05	1, 10	1, 839
	7, 8	51, 0	2, 05	3, 93	8, 08	4, 2194	15, 4593	3, 92	50, 23	0, 77	0, 60	1, 510
	8, 0	50, 1	2, 08	3, 91	8, 14	4, 3241	15, 3196	3, 90	49, 52	0, 58	0, 34	1, 158
	51, 3	454, 5	14, 74	32, 28	59, 34	27, 4218	130, 2974	32, 28	454, 33	0, 17	17, 00	15, 937
В среднем	6, 4125	56, 8125	1, 84	4, 03	7, 42	3, 4277	16, 2872					1, 992

 

 

 

, (2.28)

 

 

, (2.29)

 

 

, (2.30)

 

 

, (2.6)

 

 

Получаем уравнение регрессии:

 

Выполнив потенцирование, получим:

Теоретические значения зависимой переменной получим, подставив в уравнение значения х и потенцируя значения .

Для оценки тесноты связи найдем индекс корреляции:

 

 

Остаточная сумма квадратов составит:

 

 

 

 

Следовательно, индекс корреляции составит:

 

 

Коэффициент детерминации для уравнения степенной функции равен:

 

 

критерий Фишера будет равен:

 

, (2.22)

 

Табличное значение критерий Фишера при числе степеней свободы 1 и 6 и уровне значимости 0, 05 составит: , то есть фактическое значение критерия превышает табличное, и можно сделать вывод, что уравнение регрессии статистически значимо.

Ошибки аппроксимации для каждого наблюдения определяются как

%, (2.14)

Средняя ошибка аппроксимации находится, как средняя арифметическая простая из индивидуальных ошибок:

%

Ошибка аппроксимации показывает соответствие расчетных и фактических данных.

Выберем наилучшую модель, для чего объединим результаты построения парных регрессий в одной таблице.

Таблица 4– Итоговая таблица

Уравнение регрессии	Коэффициент детерминации	критерий Фишера	Средняя ошибка аппроксимации
	0, 896		%
			%
			1, 992 %

 

Наилучшей моделью является гиперболическая модель, для которой значение достаточно высокое, а ошибка аппроксимации – наименьшая.