Задача№1

 

По исходным данным, характеризующим уровень производительности труда за последние 7 лет и представленным в таблице 1, требуется:

1) найти конкретный вид тренда в линейной форме – ;

2) оценить модель по форме и статистическую значимость ее параметров «а₀» и «а₁» с помощью соответственно критерия Фишера и критерия Стьюдента ;

3) построить доверительную зону линий регрессии;

4) рассчитать прогноз уровня производительности труда на конец периода упреждения продолжительностью 3 года, с помощью доверительных границ.

Таблица 1– Уровень производительности труда на предприятии

за последние семь лет

Выработка продукции на одного работника, тыс. долл. (чел.)	Уровень производительности труда у основного конкурента, %	Средний темп прироста производи-тельности у конкурента, %
Условные годы
							101, 0	5, 1

 

Решение:

В соответствии с системой линейных уравнений вычисление параметров удобно выполнить с помощью специальной расчетной таблицы 2.

Таблица 2– Расчетная таблица системы нормальных уравнений.

Условные годы	Производительность труда, тыс. долл.
				4, 21
				5, 14
				6, 07
				6, 99
				7, 92
				8, 85
				9, 78

Определим необходимые составляющие: ; ; и .

Система нормальных уравнений следующими конкретными выражениями:

 

 

 

 

Решение этой системы позволило получить искомые параметры модели прогнозирования:

Следовательно, уравнение прогнозирующей функции будет представлено выражением:

 

 

Следующий этап – оценка выбранной модели прогнозирования по форме с помощью критерия Фишера .

В таблице 3 выполнен расчет необходимых компонентов: , для определения расчетного критерия Фишера

Таблица 3– Расчет факториальной и остаточной дисперсий

	4, 21	–2, 79	7, 78	–0, 21	0, 04
	5, 14	–1, 86	3, 46	–0, 14	0, 02
	6, 07	–0, 93	0, 86	–0, 07	0, 00
	6, 99	–0, 01	0, 00	1, 01	1, 02
	7, 92	0, 92	0, 85	0, 08	0, 01
	8, 85	1, 85	3, 42	–0, 85	0, 72
	9, 78	2, 78	7, 73	0, 22	0, 05
	–	–		–

 

Среднее значение рассчитаем по формуле средней арифметической:

, (5.23)

 

 

С помощью данных таблицы 3 по формулам (5.12) и (5.14) рассчитываются

соответственно остаточная и факториальная дисперсии

; (5.12)

 

 

; (5.12)

 

Табличное значение критерия Фишера определяется по таблице приложения 1. При и .Сравнивая табличное значение с можно увидеть, что > . При таком соотношении значений критерий Фишера необходимо сделать вывод, что прогнозирующая функция обеспечивает необходимую точность аппроксимации исходных точек, то есть проверка по форме прогнозирующей функции выдержала испытание.

Далее необходимо приступить к следующему этапу – оценке статистической значимости параметров уравнения тренда.

По формулам (5.15) и (5.16) рассчитывают случайные ошибки отдельно по каждому параметру, предварительно определив значения среднеквадратического отклонения

 

 

 

По формулам (5.17) и (5.18) определяют расчетные значения критерия Стьюдента

для «а₀» , (5.17)

для «а₁» , (5.18)

Табличная величина критерия Стьюдента устанавливается по таблице приложения 2 при соответствующей степени свободы и уровне доверительной вероятности .

В рассматриваемом примере и .

Поскольку считается, что параметры и статисти­чески значимы, то есть тенденция, отражаемая прогнозирующей функцией, в пределах допустимой точности соответствует тенденции сложившейся в рамках представительной выборки.

Для построения доверительной линии регрессии по формуле (5.19) определяют ординаты точек на верхней и нижней граничных кривых .

При доверительные интервалы в зависимости от аргумента имеют следующие значения:

 

для

 

для

 

для

 

для

для

 

для

 

для

 

Расчет ординат точек, расположенных на верхней и нижней граничных кривых, выполнен в таблице 4.

Таблица 4– Расчет ординат точек на верхней и нижней граничных кривых

доверительной зоны

	4, 21	1, 68	5, 89	2, 53
	5, 14	1, 32	6, 46	3, 82
	6, 07	1, 04	7, 11	5, 03
	6, 99	0, 93	7, 92	6, 06
	7, 92	1, 04	8, 96	6, 88
	8, 85	1, 32	10, 17	7, 53
	9, 78	1, 68	11, 46	8, 10

 

По ординатам на верхней и нижней граничных кривых построена доверительная зона для линии регрессии (Рисунок 1).

 

 

Рисунок1– Доверительная зона для линии регрессии

Из рисунка 1 видно, что границы доверительной зоны расположены близко по отношению к линии регрессии, что свидетельствует об идентичности тенденций признака, сложившихся в случайной и представительной выборках.

По формуле (1.19) рассчитываются экстремальные значения признака с упреждением на 3 года, то есть на момент времени .

Для этого предварительно определяют на данный момент и .

Таблица 5– Расчет и на момент разработки прогноза

 

 

, (5.21)

 

тыс. долл. / чел.

тыс. долл. / чел.

 

тыс. долл. / чел.

Можно с достаточной вероятностью утверждать, что прогнозное значение при знака на момент времени будет в интервале 9, 72–15, 44 тыс. долл. / чел.

Наиболее вероятный уровень производительности труда составит:

 

По сравнению с уровнем производительности труда, сложившего в конце предпрогнозного периода, эффективность труда должна повыситься на 25, 8 % .

Для расчета уровня производительности труда у основного конкурента на момент расчета прогноза необходимо обратиться к таблице 1.

Как следует из данных таблицы 1, уровень производительности труда у основного конкурента в последний предпрогнозный период составлял 101, 0 %. С учетом наметившихся в последние годы темпов прироста уровень производительности труда у основного конкурента на момент разработки прогноза составит:

%

Таким образом, в перспективе производительность труда у конкурента с достаточно высокой вероятностью может оказаться выше на 16, 45 %. Чтобы избежать негативных экономических последствий в результате сложившегося более низкого уровня производительности труда на предприятии необходимо разработать стратегию выхода из такой ситуации.

Это может быть реконструкция предприятия, перепрофилирования, диверсификация и т.д.