Сверхиндетифицируемые

Для того чтобы СФМ была идентифицируема, необходимо чтобы каждое уравнение системы было идентифицируемо. В этом случае число параметров СФМ равно числу параметров приведенной формы.

Если хотя бы одно уравнение СФМ неидентифицируемо, то вся модель считается неидентифицируемой. В этом случае число коэффициентов приведенной формы модели меньше, чем число коэффициентов СФМ.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае можно получить два и более значений одного структурного коэффициента на основе коэффициентов приведенной формы модели. В сверхидентифицируемой модели хотя бы одно уравнение сверхидентифицируемо, а остальные уравнения идентифицируемы.

Если обозначить число эндогенных переменных в i -том уравнении СФМ через Н, а число предопределенных переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение через D, то условие идентифицируемости модели может быть записано в виде следующего счетного правила:

если D+1 < H – уравнение неидентифицируемо;

если D+1 = H – уравнение идентифицируемо;

если D+1 > H – уравнение сверхидентифицируемо.

Счетное правило является необходимым, но не достаточным условием идентификации. Кроме этого правила для идентифицируемости уравнения должно выполняться дополнительное условие.

Отметим в системе эндогенные и экзогенные переменные, отсутствующие в рассматриваемом уравнении, но присутствующие в системе. Из коэффициентов при этих переменных в других уравнениях составим матрицу. При этом, если переменная стоит в левой части уравнения, то коэффициент надо брать с обратным знаком. Если определитель полученной матрицы не равен нулю, а ранг не меньше, чем количество эндогенных переменных в системе без одного, то достаточное условие индетификации для данного уравнения выполнено.

Проверим каждое уравнение системы на выполнение неоходимого и достаточного условия идентификации.

В первом уравнении три эндогенных переменных: , , (H=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные и (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных и (см. таблицу 1). В первом столбце таблицы показано, что коэффициенты при экзогенных переменных и взяты из уравнений 2 и 3 системы. Во втором уравнении эти переменные присутствуют и коэффициенты при них равны и , соответственно. В третьем уравнении эти переменные отсутствуют, т.е. коэффициенты при них равны нулю. Так как вторая строка матрицы состоит из нулей, определитель матрицы равен нулю. Значит, достаточное условие не выполнено, и первое уравнение нельзя считать идентифицируемым.

Таблица 1

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных и .

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные

Во втором уравнении две эндогенные переменные: и (H=2). В нем отсутствует экзогенная переменная (D=1). Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных и , которые отсутствуют во втором уравнении (см. таблицу 2).

Таблица 2

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных и .

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
	–1

Определитель представленной в таблице 2 матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, и второе уравнение идентифицируемо.

В третьем уравнении три эндогенные переменные: , , (H=3). В нем отсутствует экзогенные переменные и (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных и , которые отсутствуют в третьем уравнении (см. таблицу 3). Согласно таблице определитель матрицы равен нулю (первая строка состоит из нулей). Значит, достаточное условие не выполнено, и третье уравнение нельзя считать идентифицируемым.

Таблица 3

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных и .

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные

При оценивании коэффициентов структурной модели используется ряд методов. Рассмотрим косвенный метод наименьших квадратов (КМНК), который применяется в случае точно идентифицируемой структурной модели.

Пример 2. Рассмотрим КМНК на примере следующей идентифицируемой модели, содержащей две эндогенные и две экзогенные переменные:

Для построения модели мы располагаем информацией, представленной в таблице 4.

Таблица 4.

Фактические данные для построения модели

n	у 1	у 2	х 1	х 2
	33, 0	37, 1
	45, 9	49, 3
	42, 2	41, 6
	51, 4	45, 9
	49, 0	37, 4
	49, 3	52, 3
Сумма	270, 8	263, 6
Средн. знач.	45, 133	43, 930	7, 500	10, 333

Структурную модель преобразуем в приведенную форму модели.

где u ₁ и u ₂ – случайные ошибки.

Для каждого уравнения приведенной формы при расчете коэффициентов d можно применить МНК.

Для упрощения расчетов можно работать с отклонениями от средних уровней и ( и – средние значения). Преобразованные таким образом данные таблицы 4 сведены в таблицу 5. Здесь же показаны промежуточные расчеты, необходимые для определения коэффициентов .

Для нахождения коэффициентов первого приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:

Таблица 5

Преобразованные данные для построения приведенной формы модели

n	Y 1	Y 2	X 1	X 2	Y 1 × X 1	X 12	X 1 × X 2	Y 1 × X 2	Y 2 × X 1	Y 2 × X 2	X 22
	‑ 12, 133	‑ 6, 784	‑ 4, 500	0, 667	54, 599	20, 250	‑ 3, 002	‑ 8, 093	30, 528	‑ 4, 525	0, 445
	0, 767	5, 329	‑ 0, 500	5, 667	‑ 0, 383	0, 250	‑ 2, 834	4, 347	‑ 2, 664	30, 198	32, 115
	‑ 2, 933	‑ 2, 308	‑ 0, 500	‑ 1, 333	1, 467	0, 250	0, 667	3, 910	1, 154	3, 077	1, 777
	6, 267	1, 969	2, 500	‑ 1, 333	15, 668	6, 250	‑ 3, 333	‑ 8, 354	4, 922	‑ 2, 625	1, 777
	3, 867	‑ 6, 541	2, 500	‑ 9, 333	9, 667	6, 250	‑ 23, 333	‑ 36, 091	‑ 16, 353	61, 048	87, 105
	4, 167	8, 337	0, 500	5, 667	2, 084	0, 250	2, 834	23, 614	4, 168	47, 244	32, 115
Сумма	0, 002	0, 001	0, 000	0, 002	83, 102	33, 500	‑ 29, 001	‑ 20, 667	21, 755	134, 417	155, 334

Подставляя рассчитанные в таблице 5 значения сумм, получим

Решение этих уравнений дает значения d₁₁ = 2, 822 и d₁₂ = 0, 394. Первое уравнение приведенной формы модели примет вид

.

Для нахождения коэффициентов d_{2 k} второго приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:

Подставляя рассчитанные в таблице 5 значения сумм, получим

Решение этих уравнений дает значения d₂₁ = 1, 668 и d₂₂ = 1, 177. Второе уравнение приведенной формы модели примет вид

.

Для перехода от приведенной формы к структурной форме модели найдем из второго уравнения приведенной формы модели

.

Подставим это выражение в первое уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение

.

Таким образом, b ₁₂ = 0, 335; a ₁₁ = 2, 264.

Найдем из первого уравнения приведенной формы модели

.

Подставим это выражение во второе уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение

.

Таким образом, b ₂₁ = 0, 591; a ₂₂ = 0, 944.

Свободные члены структурной формы находим из уравнений

,

.

Окончательный вид структурной модели

Пример 3. Изучается модель вида:

Требуется:

1. Оценить следующую структурную модель на идентификацию:

2. Исходя из приведенной формы модели уравнений

найти структурные коэффициенты модели.

Решение.

1. Модель имеет три эндогенные (у ₁, у ₂, у ₃) и три экзогенные (х ₁, х ₂, х ₃) переменные.

Проверим каждое уравнение системы на необходимое (Н) и достаточное (Д) условия идентификации.