Понятие о дифференциальных уравнениях

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию, аргумент и производные различных порядков данной функции.

Простой пример дифференциального уравнения дает задача о нахождении первообразной F(x) для заданной функции f(x), т.к. ее вполне можно рассматривать как задачу о нахождении функции F(x), удовлетворяющей уравнению F'(x)=f(x).

В общем случае дифференциальное уравнение можно записать в виде

,

где G — некоторая функция, при этом порядок n старшей производной, входящей в запись уравнения, называется порядком дифференциального уравнения. Например, задача о нахождении первообразной приводит к дифференциальному уравнению первого порядка, уравнение - второго порядка и т.п.

Дифференциальное уравнение называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид

где Н— некоторая функция.

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция у=f(х), которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество. Например, функция y=sin x является решением уравнения у " +у=0, так как (sin x)" + sin x=0 для любых x.

Задача о нахождении решения дифференциального уравнения называется задачей интегрирования данного дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Отметим, что без дополнительных предположений решение дифференциального уравнения принципиально неоднозначно, т.е., аналогично неопределенному интегралу, содержит постоянные константы С_i, число которых равно порядку уравнения. Такое решение называется общим решением дифференциального уравнения. Для определения этих постоянных и получения однозначного частногорешения используются дополнительные условия, которые задают значения решения либо в точке х=0 (начальные условия), либо в точках х¹ 0 (граничные условия).

В нашем курсе ограничимся изучением дифференциальных уравнений первого порядка (или ) и простейших уравнений второго порядка.