Интегрирование рациональных дробей
Если подынтегральная функция представляет собой алгебраическую дробь, то на практике достаточно часто встречаются два типовых случая: 1.Степень числителя дроби больше или равна степени знаменателя (неправильная дробь). Для такой дроби можно разделить числитель на знаменатель известным из школьного курса методом деления углом (иначе – выделение целой части), после чего выполнить интегрирование. Пример:
Здесь использовалась и замена переменной:
Для промежуточного расчет произвольную С можно не указывать, но в окончательном ответе она обязательна. 2. Метод неопределенных коэффициентов. Если дробь – правильная и знаменатель разлагается на множители, то этот метод позволяет представить подынтегральную функцию суммой простых дробей, проинтегрировать которые уже несложно. Метод имеет большое значение не только в интегрировании. Покажем его суть на примере вычисления интеграла Разложив знаменатель дроби на множители, имеем:
Здесь А и В – неизвестные коэффициенты, которые следует найти (неопределенные коэффициенты). Для этого приведем правую часть равенства к общему знаменателю:
Сократив знаменатели и раскрыв скобки, получим
Теперь используем теорему: чтобы два алгебраических выражения были тождественно равны, необходимо и достаточно равенство их соответственных коэффициентов. Таким образом, получим систему из двух уравнений и решим ее:
Следовательно,
Возвращаясь к задаче интегрирования, получим
|
.
.
.
. Введем теперь предположение, что эту дробь можно представить суммой простых дробей:
.
.
.
