Интегрирование рациональных дробей

Если подынтегральная функция представляет собой алгебраическую дробь, то на практике достаточно часто встречаются два типовых случая:

1.Степень числителя дроби больше или равна степени знаменателя (неправильная дробь). Для такой дроби можно разделить числитель на знаменатель известным из школьного курса методом деления углом (иначе – выделение целой части), после чего выполнить интегрирование. Пример:

.

Здесь использовалась и замена переменной:

.

Для промежуточного расчет произвольную С можно не указывать, но в окончательном ответе она обязательна.

2. Метод неопределенных коэффициентов. Если дробь – правильная и знаменатель разлагается на множители, то этот метод позволяет представить подынтегральную функцию суммой простых дробей, проинтегрировать которые уже несложно. Метод имеет большое значение не только в интегрировании. Покажем его суть на примере вычисления интеграла .

Разложив знаменатель дроби на множители, имеем: . Введем теперь предположение, что эту дробь можно представить суммой простых дробей:

Здесь А и В – неизвестные коэффициенты, которые следует найти (неопределенные коэффициенты). Для этого приведем правую часть равенства к общему знаменателю:

Сократив знаменатели и раскрыв скобки, получим

Теперь используем теорему: чтобы два алгебраических выражения были тождественно равны, необходимо и достаточно равенство их соответственных коэффициентов. Таким образом, получим систему из двух уравнений и решим ее:

.

Следовательно,

.

Возвращаясь к задаче интегрирования, получим

.