Интегрирование функции двух переменных

Двойной интеграл введем аналогично определению геометрического смысла определенного интеграла функции одного переменного: если функция непрерывна и неотрицательна в области , то двойным интегралом называется объем прямого цилиндрического тела (цилиндроида – см. рисунок), построенного на области как на основании и ограниченного сверху поверхностью .

Заметим, что неопределенные двойные интегралы на практике не встречаются, поэтому не будем обсуждать непростое понятие первообразной, которая должна учитывать частные производные.Свойстваже двойного интеграла те же, что и у однократного.

Интегрирование функции двух переменных значительно более трудная и арифметически громоздкая задача по сравнению с задачей для одной переменной. Рассмотрим наиболее распространенную на практике методику вычисления двойного интеграла сведением кповторному интегрированию.

В этой методике ключевым моментом является область интегрирования . Если эта область непрерывна (см. рисунок) и ее границы могут быть четко определены, то для непрерывной в этой области функции справедлива формула

.

Таким образом, двойной интеграл сводится кпоследовательному вычислениюдвух однократных определенных интегралов (повторных интегралов). При этом внутренний интеграл имеетфункциональные(или числовые) пределы интегрирования, а внешний –всегда числовые. Внутренний интеграл (по) вычисляется в предположении, что х – постоянная величина (полная аналогия с вычислением частных производных). Расчет производится с помощью двукратного применения обычной формулы Ньютона – Лейбница.

Заметим, что область интегрирования может быть ибесконечнойв одном или в обоих направлениях осей координат. Тогда, при непрерывности функции, имеемнесобственные двойные интегралы первого рода, которые, очевидно, сводятся кнесобственным повторным интегралам.