Теорема о среднем определенного интеграла

Прикладное значение теоремы о среднем заключается в возможности получения качественной оценки значения определенного интеграла без его вычисления. Формулируем: если функция непрерывна на интервале , то внутри этого интервала найдется такая точка , что .

Геометрический смысл этой теоремы заключается в том, что внутри интервала интегрирования всегда найдется такая точка , что площадь криволинейной трапеции будет равна площади прямоугольника со сторонами и .

Эта формула вполне пригодна для прикидочной оценки интеграла от сложной или громоздкой функции. Единственным моментом, который делает формулу приближенной, является необходимость самостоятельного выбора точки . Если принять наиболее простой путь – середину интервала интегрирования (как предлагается в ряде учебников), то ошибка может быть весьма значительной. Для получения более точного результата рекомендуем провести расчет в следующей последовательности:

· построить график функции на интервале ;

· провести верхнюю границу прямоугольника таким образом, чтобы отсекаемые части графика функции были примерно равны по площади (именно так показано на вышеприведенном рисунке – два криволинейных треугольника практически одинаковы);

· определить из рисунка ;

· воспользоваться теоремой о среднем.

В качестве примера вычислим простой интеграл :

- точное значение ;

- для середины интервала получим и приближенное значение , т.е. явно неточный результат;

- построив график с проведением верхней стороны прямоугольника в соответствии с рекомендациями, получим , откуда и приближенное значение . Вполне удовлетворительный результат, погрешность составляет 0, 75%.