Формула трапеций

Точность расчетов с помощью теоремы о среднем существенно зависит, как было показано, от визуального назначения по графику точки . Действительно, выбрав, в том же примере, точки или , можно получить другие значения интеграла, причем погрешность может и увеличиться. Субъективные факторы, масштаб графика и качество рисования сильно влияют на результат. Это неприемлемо в ответственных расчетах, поэтому теорема о среднем применяется только для быстрой качественной оценки интеграла.

В этом разделе рассмотрим один из самых популярных способов приближенного интегрирования – формулу трапеций. Основная идея построения этой формулы исходит из того, что кривую можно приближенно заменить ломаной линией, как показано на рисунке.

Примем, для определенности (и в соответствии с рисунком), что интервал интегрирования разбит на равные (это необязательно, но очень удобно) части. Длина каждой из этих частей вычисляется по формуле и называется шагом. Абсциссы точек разбиения, если задано , определятся по формуле , где . По известным абсциссам легко вычислить ординаты . Таким образом,

_.

Это и есть формула трапеций для случая . Отметим, что первое слагаемое в скобках является полусуммой начальной и конечной ординат, к которой прибавляются все промежуточные ординаты. Для произвольного числа разбиений интервала интегрирования общая формула трапеций имеет вид

_.

Точность формулы трапеций зависит от принимаемого (самостоятельно) числа разбиений . Хотя в учебной литературе приводятся способы оценки погрешности этой формулы, на практике удобно произвести два расчета (в ответственных задачах) при разных значениях . На пример, при и . Если результаты близки, то расчет заканчивается, иначе рекомендуется повторить вычисления при или . Расчеты удобно производить в табличной форме или на компьютере.

Отметим, что имеется большой ряд и других способов численного интегрирования или, иначе, квадратурных формул: прямоугольников, Симпсона, Гаусса и т.д. Они строятся на той же идее представления криволинейной трапеции элементарными площадями различной формы, поэтому, после освоения формулы трапеций, разобраться в аналогичных формулах не составит особого труда. Многие формулы не так просты, как формула трапеций, но позволяют получить результат высокой точности при малом числе разбиений .

С помощью формулы трапеций (или аналогичных) можно вычислять, с нужной на практике точностью, как " неберущиеся" интегралы, так и интегралы от сложных или громоздких функций.