Производные высших порядков

Так как частные производные и являются новыми функциями двух переменных, то можно найти также и их следующие частные производные, которые будутчастными производными второго порядкат.е.

и .

Здесь логика вычислений очевидна. Однако обратим внимание на то, что производную можно было бы дальше дифференцироватьне по своемуаргументу х, а по аргументу у. Точно так же можно было бы далее дифференцировать по аргументу х. Т.е. получить производные

и .

Такие производные называютсясмешанными частными производнымивторого порядка. В теории функции одного переменного ничего подобного нет.

Рассмотрим производные высших порядков на примере функции . Вычислим первые производные:

, аналогично .

Вторые частные производные:

, аналогично .

А теперь получим смешанные производные:

, аналогично .

Совпадение двух последних результатов не случайно – мы попутно доказали важнуютеорему: если частные производные второго порядка непрерывны в точке, то в этой точкевторые смешанные производныеравнымежду собой ине зависятот способа их вычисления, т.е.

.

Для вычисления второй смешанной производной можно использовать любой из этих двух способов. Отметим, что производные порядка выше второго, а также дифференциалы высших порядков редко встречаются в прикладных задачах, поэтому здесь не рассматриваются.