Мощность скелета бесконечного кластера вблизи порога протекания. Роль мертвых концов

Как и электропроводность, функция P (x), представляющая долю узлов, принадлежащих бесконечному кластеру, обращается в нуль при x = x_c. Исследования показали, что вблизи порога эта функция имеет вид

, (7.15)

где D – численный коэффициент порядка единицы, а – еще один критический индекс. Установлено, что для двумерных задач , а для трехмерных . Эти результаты получены главным образом с помощью ЭВМ.

В функцию P (x) дают вклад все узлы бесконечного кластера – и принадлежащие скелету, и принадлежащие мертвым концам. С помощью модели бесконечного кластера можно определить, каких узлов больше. Допустим сначала, что мертвых концов совсем нет, и вычислим вклад в P (x) от скелета бесконечного кластера.

В двумерном случае на каждую ячейку бесконечного кластера приходится порядка R / a узлов, принадлежащих скелету, где a – период решетки (как и в предыдущем разделе, здесь делается оценка, не претендующая на установление численных коэффициентов). Площадь ячейки порядка и, следовательно, полное число всех узлов в ячейке порядка . Отсюда следует, что доля узлов, принадлежащих скелету бесконечного кластера,

. (7.16)

Здесь знак «~» означает равенство по порядку величины (без учета численных коэффициентов порядка единицы).

В трехмерном случае на каждую ячейку бесконечного кластера тоже приходится (R / a) узлов, принадлежащих скелету, но полное число узлов в ячейке порядка (R / a)³. Поэтому в трехмерном случае

. (7.17)

Сравнивая формулы (7.16) и (7.17) с формулами (7.12) и (7.14), можно видеть, что доля узлов, принадлежащих скелету бесконечного кластера, по порядку величины совпадает с функцией .

Сравнивая (7.16) и (7.17) с формулой (7.15), видим, что

в двумерном случае, а в трехмерном случае

.

Вспомним, что , а . Следовательно, , a . Таким образом, и в двумерном, и в трехмерном случаях отношение быстро стремится к нулю при x → x_c. Это значит, что узлы, образующие скелет бесконечного кластера, составляют ничтожную долю от полного числа узлов, принадлежащих бесконечному кластеру. Основная «масса» бесконечного кластера сосредоточена в мертвых концах и совершенно бесполезна с точки зрения электропроводности. Поэтому вблизи порога протекания . Однако именно мертвые концы определяют спонтанную намагниченность ферромагнетика с примесями вблизи порога протекания.