Прыжковая проводимость

Миллер и Абрахамсон показали, что задачу о прыжковой проводимости можно свести к задаче о случайной сетке сопротивлений.

Напомним результат, полученный для задачи перекрывающихся сфер радиуса R_c -бесконечный кластер возникает при выполнении условия

Рассмотрим два уровня примесей i, j. Разность энергий этих уровней - температуры Дебая. Перескок происходит с поглощением или испусканием одного фонона.

 

Рис. 8.6. Перескок носителя по примесным центрам

 

Пусть волновая функция электрона имеет S-тип: .

Число переходов с ί - го узла на j- й в единицу времени

Для того, чтобы произошел прыжок, вероятность электрона на i –м уровне – , j -й уровеньдолжен быть пустым, иначе прыгать некуда, т.е. используется вероятность – . В простом варианте, когда вырождение уровней равно 1/2

.

Нужно найти фонон, т.к. электрон должен изменить энергию на величину , испустив или поглотив соответствующий фонон

.

Рассмотрим два случая.

1. Пусть электрическое поле . Система находится в равновесии, что в соответствии с принципом детального равновесия означает, что число переходов на j -м уровне равно числу переходов обратно, i ↔ j.

Поскольку электрического поля нет (E = 0), число переходов должно быть одинаковым: (i Þ j) = (j Þ i).

2. Приложим малое электрическое поле . Ток предполагается малым, тогда ,

т.е. при малых токах фононы остаются в равновесии, а функция их распределения невозмущенная, т.е. – функция Планка.

Наличие поля приводит к двум изменениям в числе переходов с i- го узла на j- й :

1) Изменяется энергия донорных уровней во внешнем потенциальном поле (они находятся в разных пространственных точках), т.е. меняется энергия участвующих в перескоке фононов; в планковском распределении добавляется слагаемое – изменение разности энергий уровней. Поскольку температуры малы, то фононов соответствующей энергии нужно еще поискать.

2) Происходит также перераспределение электронов во внешнем электрическом поле – функция распределения электронов возмущается, поскольку происходит изменение их химического потенциала.

Действительно, поскольку существует ток, то его возникновение может быть обусловлено только нарушением баланса переходов между состояниями .

По определению . Ток пропорционален разности числа переходов:

.

Если использовать разложение по малым добавкам, то получим

Выражение можно рассматривать как разность электрохимических потенциалов – напряжение. Тогда, сопротивление между i -м и j -м узлами (с точки зрения электротехнической задачи) равно

.

Запишем это сопротивление в виде:

, где . (8.1)

Действительно,

,

здесь температура Т считается малым параметром. Недостаток полученного выражения заключается в его несимметричности относительно i, j. Чтобы от этого избавиться, в качестве меры разности энергий берут симметричное по индексам выражение:

.

Итак: , где определено согласно формуле (8.1), выражением, симметричным по .

В принципе, локализованных примесных узлов много, они разбросаны в пространстве. У каждого узла своя реализация случайного потенциала, создаваемого заряженными примесями и, следовательно, свой сдвиг по энергии. У соседа может быть «плохое» окружение, которое сильно изменило энергетическое положение его уровня, а дальше в пространстве может оказаться примесь, уровень которой возмущен менее, но расстояние до него оказывается больше.

Мы получили сетку сопротивлений , соединяющую узлы примеси. Причем меняется в чрезвычайно широком интервале значений.

Неизвестные: - может быть найдено из первого и второго законов Кирхгофа (равенство входящих – выходящих токов в каждый узел и равенство суммы электрохимических потенциалов по любому замкнутому контуру).

В слабо легированном полупроводнике среднее расстояние можно оценить как , что соответствует расстоянию между примесями» 6 – 12 боровских радиусов.

, ,

при этом сопротивление из-за экспоненциальной зависимости отличается в 10¹² -10²⁴ раз. Это объясняет экспериментальный график .

 

Рис.8.7. Проводимость p -германия с примесью галлия как функция концентрации галлия. Степень компенсации всех образцов К = 0, 4

 

Нужно произвести оценку в соответствии с теорией перколяции. Рассмотрим относительно большие температуры, когда можно пренебречь по сравнению с величиной . Теперь условно разорвем все сопротивления нашей системы и включим все , постепенно увеличивая величину x. Две точки (центра) считаются связанными, если . При определенной концентрации примесей будет возможно протекание по системе. Существует критический уровень заливки , при котором будет наблюдаться проводимость по всей системе, т.е. образуется бесконечный кластер. Можно провести аналогию с повышением уровня воды до возникновения некоторого уровня, когда все пруды (сопротивление) соединятся и создадут бесконечный океан (кластер).