Кулоновская блокада и переход металл-изолятор

 

На рис.5(a) приведены зависимости сопротивления от относительной концентрации металла в керметах системы Au+Al₂O₃ (рис.10.2), измеренные при двух существенно разных температурах. На графике явно видны две области концентраций x. Область является металлической: сопротивление сравнительно мало, сравнительно слабо зависит от температуры и постепенно растет с уменьшением x; где-то вблизи значения находится граница двух областей; наконец, для диэлектрической области характерен очень резкий рост сопротивления с уменьшением x и очень сильная температурная зависимость .

Рис. 10.5. Переход металл-изолятор. Зависимость сопротивления гранулированных пленок от концентрации металла x _. Обратите внимание на шкалу на оси ординат: диапазон изменения сопротивления больше 12 порядков.

B. Abeles et al., Advances in Physics 24, 407 (1975)

 

Аналогичный график в другой системе, Ni+SiO₂, приведен на рис.10.5.(b). Качественно система ведет себя так же. В частности, и здесь вблизи критического значения x_c производная функции меняет знак. Однако, само критическое значение x_c другое. О подобном разнобое значений на островковых пленках мы уже упоминали.

Стандартное описание в терминах перколяционной модели предполагает, что при концентрациях x > x_c линии тока целиком проходят внутри металлического кластера, а при x < x_c ток должен хотя бы частично проходить через изолятор. Тогда температурную зависимость в области x < x_c должны были бы определять свойства изолятора. Но это верно лишь отчасти.
На рис.10.6 приведены температурные зависимости материалов гранулированных систем Au+Al₂O₃ и Ni+SiO₂ в изолирующем режиме, т.е. при x < x_c. Благодаря тому, что в измеряемом интервале температур сопротивление изменяется на много порядков, удается надежно определить функциональную зависимость удельного сопротивления :

(10.4)

)

надежно отличая ее и от , и от .

Рис.10.6. Температурная зависимость удельного сопротивления гранулированных систем.

B. Abeles et al., Advances in Physics 24, 407 (1975)

Функциональной зависимости (4) нет у соответствующих массивных изоляторов, ни у Al₂O₃, ни у SiO₂. К тому же наклон прямых на рис.6, определяемый величиной , зависит от величины x. Следовательно, транспорт в обсуждаемых материалах контролируется не только изолятором, но и металлическими гранулами. Это и есть тот экспериментальный факт, который необходимо осмыслить и объяснить.

Теоретическая модель исходит из двух фундаментальных предположений:

1. Между соседними гранулами возможно туннелирование. Здесь теряется инвариантность относительно масштаба решетки, характерная для перколяционных задач, и исключаются системы типа совокупности металлических шариков от подшипников. Не обязательно, чтобы из каждой гранулы было возможно туннелирование во все соседние гранулы. Точнее можно сказать так: совокупность гранул, между которыми возможен обмен носителями посредством туннелирования, должна представлять собой развитый бесконечный кластер. Это предположение определяет то, что обычно называют подвижностью носителей ; здесь под следует понимать время, за которое происходит туннелирование заряда с эффективной массой . Действительно, раз туннелирование это основной механизм передвижения зарядов в пространстве, то подвижность зарядов пропорциональна вероятности туннелирования

(10.5)

(

где и - ширина и высота барьера.

2. Каждая заряженная металлическая гранула создает электрическое поле в зазоре между собой и соседними гранулами, являясь таким образом обкладкой локального микроконденсатора. Емкость такого конденсатора порядка произведения радиуса гранулы на диэлектрическую проницаемость окружающего его изолятора (емкость уединенного шара),

(10.6)

(

Если заряд в конденсаторе q, то энергия поля в нем . Поэтому для размещения на грануле одного избыточного электрона, q=e, требуется кулоновская энергия . Отсюда следует, что концентрация зарядов пропорциональна

(10.7)

(

Заметьте: Материал остается при этом электрически нейтральным, поскольку число электронов и дырок (положительно и отрицательно заряженных гранул) примерно одинаково. Энергия и тех и других отсчитывается от уровня Ферми.

Энергия отнюдь не мала. Для гранулы размером 50Å; при она порядка 300K. Это означает, что при низких температурах туннелирующих носителей экспоненциально мало. Именно это обстоятельство лимитирует проводимость. Отсюда название кулоновская блокада. Оно употребляется чаще применительно к изолированыым наноструктурам, таким, как пары туннельных контактов малой емкости, когда величина описывает какую-то конкретную конфигурацию. Однако, неравенство

(10.8)

(

может определять и свойства материала как целого.
Формально формулы (10.5) и (10.7) позволяют выделить самые существенные, экспоненциальные множители, входящие в выражение для сопротивления . Поскольку проводимость s пропорциональна произведению концентрации на подвижность, получаем

(10.9)

(

Поскольку в показателе экспоненты в выражении (10.9) имеется два слагаемых и длина a в одном из них входит в числитель, а в другом в знаменатель, существует значение

(10.10)

при котором показатель имеет минимум. Значение длины a в реальном материале наверняка имеет дисперсию. Существование минимума означает, что ток в основном будет идти вдоль цепочек из гранул с выделенным значением , а сопротивление материала будет описываться формулой (10.4) со значением T₀.

(10.11)

(

Прежде, чем обсуждать полученный результат, следует сделать существенную оговорку. Длина a в формулах (10.5) и (10.7) имеет разный смысл: это зазор между гранулами в (5) и размер гранул в (10.7)). На фотографиях на рис.10.1, 2, 3 видно, что они не равны. Но вместо фактически сделанного предположения об их равенстве можно ограничиться гораздо более реалистичным предположением об их пропорциональности. Это означает, что различные участки после масштабирования становятся статистически одинаковыми. В такой модели основной вывод останется прежним, лишь в выражении (10.11) появится в качестве дополнительного множителя корень из коэффициента пропорциональности. Более того, основной вывод сохранится при любой функциональной связи при данном x между размерами гранул a и зазорами a' между ними; лишь бы эти две величины не были статистически независимыми.

Итак, выясняется, что при низких концентрациях металлической фазы x < x_c ток течет по гранулированному материалу неравномерно, концентрируясь в областях с оптимальным средним размером гранул. Этот оптимальный размер зависит от температуры. Поэтому при изменении температуры распределение тока по материалу должно меняться.

Сравните туннельную проводимость в гранулированной системе с прыжковой проводимостью при наличии кулоновской щели. Одинаковая функциональная зависимость , одно и то же исходное взаимодействие - кулоновское, схожие механизмы смены с температурой основных тунннельных (токовых) путей.

Сходство между этими двумя задачами не случайно. Если устремить размер гранул к нулю, то они превратятся в примесные центры, которые могут быть либо заряжены, либо электронейтральны. При таком предельном переходе одна задача должна естественно перейти в другую. Но в изоляторе с примесными центрами есть кулоновская щель, а в металле с большим количеством примесей из-за кулоновского электрон-электронного взаимодействия появляется минимум плотности состояний на ферми-уровне. Чего-то аналогичного следует ожидать и в гранулированном материале. Справедливость этих ожиданий демонстрирует туннельный эксперимент.
На рис.10.7(a) представлены туннельные характеристики структуры Al--Al₂O₃ --Ni+SiO₂, в которой одним из берегов туннельного контакта является пленка гранулированного металла, в данном случае смесь нерастворяющихся друг в друге Ni (металл) и SiO₂ (изолятор).

Рис.10.7 Туннельные характеристики системы Al-Al₂O₃- (Ni+SiO₂).

B. Abeles et al., Advances in Physics 24, 407 (1975)

В эксперименте были использованы пленки толщиной 100Å;. Поскольку при всех значениях характерные размеры металлических гранул были меньше 50Å;, с точки зрения процессов, формирующих электронный спектр, пленка Ni+SiO₂ представляет собой трехмерную структуру. Плоскость контакта является ее срезом. Процесс туннелирования может происходить только в выходяшие на плоскость контакта металлические гранулы. Они занимают на этой плоскости ту же долю x, что и в объеме.

При больших значениях x, а именно уже при x=0.66 (верхняя кривая), наличие диэлектрических вкраплений несущественно, Ni+SiO₂ ведет себя как обычный металл, а структура на кривой появляется из-за сверхпроводимости контрэлектрода Al. Изменения в кривых при меньших полностью контролируются гранулированным электродом, поскольку с Al ничего не происходит. Абстрагируясь от его неоднородности, можно извлечь из каждой экспериментальной кривой функцию плотности числа состояний для гранулированного электрода. Результат представлен на рис.7(b).
Как видно из рис.7, эволюция функции плотности состояний по мере изменения управляющего параметра вблизи перехода металл-изолятор в гранулированном и негранулированном материалах практически неразличимы: в обоих случаях на металлической стороне появляется минимум плотности состояний на ферми-уровне, который превращается в мягкую щель. Согласно рис.10.7, критическое значение управляющего параметра в системе Ni+SiO₂ равно x_с=0.56. То же значение получается и из кривых рис.5(b): именно при этом x меняет знак производная .

Таким образом, хотя туннелирование происходит в отдельные гранулы, извлекаемая из эксперимента функция отражает состояние всего материала в целом и даже фиксирует происходящий при изменении x переход металл-изолятор.

В [2] детально рассмотрен вопрос об обработке данных представленных на рис.10.7 и показано, что при исчезновении бесконечного кластера, когда происходит перколяционный переход и доля p принадлежащая бесконечному кластеру обращается в нуль, становится нулем и плотность состояний на ферми-уровне.
Таким образом, ни транспортные измерения в окрестности перехода металл-изолятор, ни туннельные эксперименты не позволяют различить перколяционный переход в гранулированной системе и, например, переход Мотта в однородно разупорядоченной системе. Из самых общих соображений этого следовало ожидать: на переходе расходится корреляционная длина x; когда мы находимся столь близко от перехода, что

(10.12)

(

то гранулярность становится несущественной. Важно, конечно, чтобы не было слишком большим (как в системе из шариков от подшипников), иначе окрестность перехода станет нереализуемо малой.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Займан Дж. - Модели беспорядка: теоретическая физика однородно неупорядоченных систем; Пер.с англ. - М.: Мир, 1982. - 592 с.

2. Гантмахер В. Ф. - Электроны в неупорядоченных средах - М.: Физматлит, 2005. - 232 с.

3. Эфрос А.Л. Физика и геометрия беспорядка. М.: Наука, 1982.

4. Бонч-Бруевич В.Л. и др. Электронная теория неупорядоченных полупроводников. М.: Наука, 1981.

5. Комник Ю.Ф. Физика металлических пленок. М.: Атомиздат, 1979.

6. Б.И.Шкловский, А.Л.Эфрос, Электронные свойства легированных полупроводников. М.: Наука, 1979. - 416 с.