Связь плотности числа состояний с критерием локализации

Важнейшей характеристикой примесной зоны является плотность числа состояний. Эта величина определяется как число уровней, попадающих в малый энергетический интервал, отнесенная к этому интервалу и к объему системы.

Следует иметь в виду, что в макроскопической системе плотность числа состояний является непрерывной функцией энергии в некотором интервале, даже если речь идет о примесной зоне, которая представляет собой набор дискретных уровней. Таким образом, плотность числа состояний не содержит информацию, позволяющую отличить истинную зону от набора дискретных уровней, не связанных друг с другом и случайно разбросанных в энергетическом пространстве.

Модель Андерсона содержит безразмерный параметр - отношение , здесь – интеграл перекрытия, W – ширина зоны.

Результат исследований (является ли данное состояние локализованым или нет) состоит в следующем (критерий Андерсона):

- При больших значениях все состояния локализованы.

- Существует критическое значение , при котором в центре зоны впервые появляются нелокализованые состояния.

- При дальнейшем уменьшении h < < h^* область делокализации разрастается, захватывая практически всю зону.

- Все сказанное не относится к одномерным системам – локализация для них имеет место всегда.

Для примера, рассмотрим две одинаковые потенциальные ямы на большом удалении друг от друга (рис.9.3).

Здесь – интеграл перекрытия двух функций. Как ни велико конечное значение L, электрон в равной степени в обоих состояниях

,

принадлежит обеим ямам с одинаковой вероятностью. Характер решения мало меняется, если ямы исходно слабо различаются, т.е. если .

Рис. 9.3. Две квантовые потенциальные ямы при различном взаимном расположении друг от друга

В обратном случае, (первоначальный энергетический сдвиг в ямах, например, обусловлен хаотическим потенциалом других примесей) картина другая:

Рис.9..4. Две различные квантовые потенциальные ямы

Волновые функции имеют вид:

В первой яме энергия - ; волновая функция . Во второй яме энергия - ; волновая функция . Обобществление электронов здесь не происходит.

Согласно изложенным выше результатам исследований модели Андерсона при определенном значении параметра h внутри зоны шириной W образуется энергетическая полоса шириной .

Состояния принадлежащие - называются резонансно связанными, а не принадлежащие - резонансно несвязанным.

Резонансные узлы связаны друг с другом. Это те узлы, которые являются ближайшими соседями или соединяются друг с другом через резонансных соседей, которые по цепочке являются ближайшими соседями.

Совокупность таких резонансных узлов образует кластер с единой волновой функцией. Квадрат волновой функции электрона на узлах кластера одного порядка на всех узлах кластера и мал - вне этого кластера.

Выбросим из рассмотрения нерезонансные узлы. Доля резонансных узлов составляет g = /W, поскольку мы предполагали равномерную плотность уровней внутри зоны.

Рис. 9.5. Плотность состояний в модели Андерсона. Локализованые состояния заштрихованы. Энергии Е _с и – Е _с, отделяющие области локализованых и нелокализованых состояний, являются порогами подвижности.

 

 

 

 

Рис.9.6. Различие уровней энергии в модели Андерсона приводит к разделению узлов на несколько типов. Если уровни энергии электрона на узлах разных типов отличаются друг от друга более, чем на величину γ V, то переход электрона между такими узлами невозможен. Состояния локализованы или делокализованы в зависимости от того, возможно ли протекание по узлам данного типа.

 

При малых значениях g резонансных атомов мало, они располагаются малыми изолированными группами.

При больших значениях g резонансные узлы образуют бесконечный кластер, т.е. образуются пути, уходящие в бесконечность, по которым исходный волновой пакет расплывается.

Существует пороговое значение g_с = /W_с для образования бесконечного кластера. Очевидно, что g_с - аналог порога x _c соответствующей задачи перколяции.

Если воспользоваться моделью Де Жена для бесконечного кластера, то он состоит из скелета и мертвых концов. Новая фаза зарождается не как сплошность, а как одномерные ниточки. Итак,

.

Это задача вложенных сфер, а Х_c – доля резонансных узлов.

Е ₁ – Е ₂ = 2 zI, а резонансные узлы принадлежат ниточкам бесконечного кластера, у которых число ближайших соседей z = 2. Следовательно, , I – интеграл перекрытия.

, (9.6)

где Х_с – порог протекания по сетке данного типа.

Если W < W_c, т.е. мы имеем примесную зону плотную по концентрации уровней, то возникает делокализация электронного состояния.

Если, наоборот W > W_c (рыхлая зона)_, то все состояния останутся локализоваными.

Проверим, используя результаты численных экспериментов для различных решеток.

В таблице Х_с – результат расчетов порогового значения образования бесконечного кластера; - результат оценок порога образования делокализованого электронного состояния из решений численных задач.

Можно видеть, что численные значения двух последних столбцов совпадают с точностью 10-15%. Такой подход позволяет утверждать следующее.

Таблица 9.1

Тип решетки	Хс
2-х мерная решетка
Шестиугольная	0, 70	5, 7	4, 3
Квадратная решетка	0, 59	6, 8	6, 1
Треугольная решетка	0, 50	8, 0	9, 4
3-х мерная решетка
Простая кубическая	0, 31	12, 9	14, 4
Типа алмаза	0, 43	9, 3	8, 0

 

Случайный потенциал приводит к разбросу уровней примесных центров, и в то же время примесные центры обладают определенным перекрытием волновых функций.

Мы рассматривали случай, когда эти две величины задаются независимо и заданы.

Если разброс больше определенной величины, то состояния остаются локализоваными. Если меньше – происходит делокализация. Плотная зона дает делокализацию, в рыхлой – все состояния локализованы. Однако, это модель, на самом деле и интеграл перекрытия I и уширение W связаны.